Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2022

Entre los participantes de un torneo internacional de ajedrez:

El 28 % de ellos son rusos, de los cuales las tres cuartas partes son grandes maestros.

El 24 % son estadounidenses y entre ellos la mitad son grandes maestros.

El 48 % son del resto del mundo, de los cuales un tercio son grandes maestros.

Considerando los sucesos $R =$ «ser ruso», $E =$ «ser estadounidense», $M =$ «no ser ruso ni estadounidense» y $GM =$ «ser gran maestro»:

a) Indique cuáles son los valores de $P(GM/R)$, $P(GM/E)$ y $P(GM/M)$. [0,3 puntos]

b) Calcule la probabilidad de que al elegir al azar a uno de los participantes en el torneo, sea un gran maestro. [0,7 puntos]

c) Si se elige al azar a uno de los grandes maestros del torneo, ¿cuál es la probabilidad de que sea ruso? [1 punto]

$\textbf{a) Indique cuáles son los valores de } \boldsymbol{P(GM/R)}\textbf{, } \boldsymbol{P(GM/E)}\textbf{ y } \boldsymbol{P(GM/M)}\textbf{. [0,3 puntos]}$

Las proporciones de grandes maestros están referidas a cada procedencia, de modo que son probabilidades condicionadas y se leen directamente del enunciado:

$P(GM/R)=\dfrac{3}{4}=0{,}75 \qquad P(GM/E)=\dfrac{1}{2}=0{,}5 \qquad P(GM/M)=\dfrac{1}{3}$

Los porcentajes de participantes, en cambio, son probabilidades sin condicionar, y las tres procedencias forman un sistema completo de sucesos:

$P(R)=0{,}28 \qquad P(E)=0{,}24 \qquad P(M)=0{,}48$



$\textbf{b) Calcule la probabilidad de que al elegir al azar a uno de los participantes en el torneo, sea un gran maestro. [0,7 puntos]}$

Sumamos las tres ramas del árbol que acaban en gran maestro, que es el teorema de la probabilidad total.

$P(GM)=P(R)\,P(GM/R)+P(E)\,P(GM/E)+P(M)\,P(GM/M)$

$P(GM)=0{,}28\cdot 0{,}75+0{,}24\cdot 0{,}5+0{,}48\cdot\dfrac{1}{3}$

$P(GM)=0{,}21+0{,}12+0{,}16=0{,}49$

La probabilidad de que un participante elegido al azar sea gran maestro es $0{,}49$, casi la mitad.

$\textbf{c) Si se elige al azar a uno de los grandes maestros del torneo, ¿cuál es la probabilidad de que sea ruso? [1 punto]}$

La condición está ahora al final del experimento y la pregunta, al principio: es una probabilidad a posteriori y se calcula con el teorema de Bayes.

$P(R/GM)=\dfrac{P(R\cap GM)}{P(GM)}=\dfrac{P(R)\,P(GM/R)}{P(GM)}=\dfrac{0{,}21}{0{,}49}$

$P(R/GM)=\dfrac{3}{7}\approx 0{,}429$

Sabiendo que el participante es gran maestro, la probabilidad de que sea ruso es $\dfrac{3}{7}\approx 0{,}429$, bastante mayor que el $28\%$ que representan los rusos en el torneo.