Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2022

Una corporación fabrica herramientas de 3 tipos de calidades. Un 10 % de calidad Alta, un 70 % de calidad Estándar y un 20 % de calidad Baja. Se sabe que son defectuosas el 1 %, el 10 % y el 30 % del total de las herramientas respectivamente.

a) Se elige una herramienta al azar. Definiendo correctamente los sucesos que intervienen, calcúlese la probabilidad de que sea defectuosa. [1 punto]

b) Se elige una herramienta que resulta ser defectuosa. Definiendo correctamente los sucesos que intervienen, calcúlese la probabilidad de que la elegida sea de calidad estándar. [1 punto]

$\textbf{a) Se elige una herramienta al azar. Definiendo correctamente los sucesos que intervienen, calcúlese la probabilidad de que sea defectuosa. [1 punto]}$

Nombramos los sucesos:

$A\equiv$ la herramienta es de calidad alta; $E\equiv$ es de calidad estándar; $B\equiv$ es de calidad baja; $D\equiv$ la herramienta es defectuosa.

Las tres calidades forman un sistema completo de sucesos, y los porcentajes de defectos están referidos a cada una, de modo que son probabilidades condicionadas:

$P(A)=0{,}10 \qquad P(E)=0{,}70 \qquad P(B)=0{,}20$

$P(D|A)=0{,}01 \qquad P(D|E)=0{,}10 \qquad P(D|B)=0{,}30$



Sumamos las tres ramas del árbol que acaban en defecto, que es el teorema de la probabilidad total.

$P(D)=P(A)\,P(D|A)+P(E)\,P(D|E)+P(B)\,P(D|B)$

$P(D)=0{,}10\cdot 0{,}01+0{,}70\cdot 0{,}10+0{,}20\cdot 0{,}30$

$P(D)=0{,}001+0{,}07+0{,}06=0{,}131$

La probabilidad de que una herramienta elegida al azar sea defectuosa es $0{,}131$, es decir, un $13{,}1\%$.

$\textbf{b) Se elige una herramienta que resulta ser defectuosa. Definiendo correctamente los sucesos que intervienen, calcúlese la probabilidad de que la elegida sea de calidad estándar. [1 punto]}$

Ahora la condición es el defecto y la pregunta, la calidad: es una probabilidad a posteriori y se calcula con el teorema de Bayes, con el mismo denominador del apartado anterior.

$P(E|D)=\dfrac{P(E\cap D)}{P(D)}=\dfrac{P(E)\,P(D|E)}{P(D)}=\dfrac{0{,}07}{0{,}131}$

$P(E|D)=\dfrac{70}{131}\approx 0{,}534$

Sabiendo que la herramienta es defectuosa, la probabilidad de que sea de calidad estándar es $\dfrac{70}{131}\approx 0{,}534$: más de la mitad de las piezas defectuosas salen de ese grupo, sencillamente porque es el más numeroso.