Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2023

De las camionetas que recogen los envases reciclados de una localidad el 45 % son de la marca C1, el 30 % de la marca C2 y el 25 % de la marca C3. La probabilidad de que una camioneta se averíe es: $0{,}02$ si es de la marca C1, $0{,}05$ si es de la marca C2 y $0{,}04$ si es de la marca C3.

a) Indicar las 6 probabilidades que aparecen en el enunciado. [0,6 puntos]

b) Si se selecciona una de esas camionetas al azar, ¿qué probabilidad tiene de averiarse? [0,7 puntos]

c) Suponiendo que una de esas camionetas se ha averiado, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido una camioneta de la marca C3? [0,7 puntos]

$\textbf{a) Indicar las 6 probabilidades que aparecen en el enunciado. [0,6 puntos]}$

Nombramos los sucesos:

$C_1,\ C_2,\ C_3\equiv$ la camioneta es de la marca correspondiente; $V\equiv$ la camioneta se avería.

Las tres marcas forman un sistema completo de sucesos, ya que sus porcentajes suman el total:

$P(C_1)=0{,}45 \qquad P(C_2)=0{,}30 \qquad P(C_3)=0{,}25$

Las probabilidades de avería están referidas a cada marca, de modo que son condicionadas:

$P(V|C_1)=0{,}02 \qquad P(V|C_2)=0{,}05 \qquad P(V|C_3)=0{,}04$



$\textbf{b) Si se selecciona una de esas camionetas al azar, ¿qué probabilidad tiene de averiarse? [0,7 puntos]}$

Sumamos las tres ramas del árbol que acaban en avería, que es el teorema de la probabilidad total.

$P(V)=P(C_1)\,P(V|C_1)+P(C_2)\,P(V|C_2)+P(C_3)\,P(V|C_3)$

$P(V)=0{,}45\cdot 0{,}02+0{,}30\cdot 0{,}05+0{,}25\cdot 0{,}04$

$P(V)=0{,}009+0{,}015+0{,}010=0{,}034$

La probabilidad de que una camioneta elegida al azar se averíe es $0{,}034$, es decir, un $3{,}4\%$.

$\textbf{c) Suponiendo que una de esas camionetas se ha averiado, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido una camioneta de la marca C3? [0,7 puntos]}$

La condición está al final del experimento y la pregunta, al principio: es una probabilidad a posteriori y se calcula con el teorema de Bayes.

$P(C_3|V)=\dfrac{P(C_3\cap V)}{P(V)}=\dfrac{P(C_3)\,P(V|C_3)}{P(V)}=\dfrac{0{,}010}{0{,}034}$

$P(C_3|V)=\dfrac{5}{17}\approx 0{,}294$

Sabiendo que una camioneta se ha averiado, la probabilidad de que sea de la marca C3 es $\dfrac{5}{17}\approx 0{,}294$.