Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2023

Sean $A$, $B$ y $C$ sucesos de un experimento aleatorio con probabilidades $P(A) = 0{,}3$, $P(B) = 0{,}4$ y $P(C) = 0{,}5$ tales que $A$ y $B$ son independientes y $A$ y $C$ son incompatibles. Calcular las probabilidades $P(A \cap B)$, $P(A \cap C)$, $P(A \cap \bar{C})$, $P(A \cup B)$ y $P(\bar{A} \cup \bar{B})$, siendo $\bar{A}$, $\bar{B}$ y $\bar{C}$ los sucesos complementarios de $A$, $B$ y $C$ respectivamente. [2 puntos]

$\textbf{Calcular las probabilidades } \boldsymbol{P(A \cap B)}\textbf{, } \boldsymbol{P(A \cap C)}\textbf{, } \boldsymbol{P(A \cap \bar{C})}\textbf{, } \boldsymbol{P(A \cup B)}\textbf{ y } \boldsymbol{P(\bar{A} \cup \bar{B})}\textbf{. [2 puntos]}$

Cada probabilidad sale de una propiedad distinta, así que las tomamos una a una traduciendo primero las dos hipótesis del enunciado.

Que $A$ y $B$ sean independientes significa que la probabilidad de la intersección es el producto de las probabilidades:

$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)=0{,}3\cdot 0{,}4=0{,}12$

Que $A$ y $C$ sean incompatibles significa que no pueden ocurrir a la vez, es decir, que su intersección es el suceso imposible:

$P(A\cap C)=P(\varnothing)=0$

El suceso $A$ se reparte entre la parte que comparte con $C$ y la que no, de modo que

$P(A\cap\bar{C})=P(A)-P(A\cap C)=0{,}3-0=0{,}3$

Es decir, si $A$ ocurre, necesariamente no ha ocurrido $C$.

Para la unión aplicamos la fórmula que descuenta la parte contada dos veces:

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=0{,}3+0{,}4-0{,}12=0{,}58$

La última es la unión de los complementarios, que por las leyes de De Morgan es el complementario de la intersección:

$\bar{A}\cup\bar{B}=\overline{A\cap B} \Rightarrow P(\bar{A}\cup\bar{B})=1-P(A\cap B)=1-0{,}12=0{,}88$

El reparto del espacio muestral entre $A$ y $B$ queda así:



Los cinco valores pedidos son $P(A\cap B)=0{,}12$, $P(A\cap C)=0$, $P(A\cap\bar{C})=0{,}3$, $P(A\cup B)=0{,}58$ y $P(\bar{A}\cup\bar{B})=0{,}88$.