Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2023

Un 50 % de los participantes en un torneo abierto de ajedrez celebrado en Salamanca son españoles, un 30 % son europeos no españoles y los demás proceden del resto del mundo. De ellos, dos tercios de los españoles, la mitad de los europeos no españoles y un tercio de los no europeos no pasan de los 40 años.

a) Indicar las 6 probabilidades que aparecen en el enunciado. [0,6 puntos]

b) Si se selecciona un participante al azar, calcular la probabilidad de que no tenga más de 40 años. [0,7 puntos]

c) Si se elige al azar un participante del torneo y no tiene más de 40 años, ¿cuál es la probabilidad de que sea español? [0,7 puntos]

$\textbf{a) Indicar las 6 probabilidades que aparecen en el enunciado. [0,6 puntos]}$

Nombramos los sucesos:

$E\equiv$ el participante es español; $U\equiv$ es europeo no español; $R\equiv$ procede del resto del mundo; $J\equiv$ no tiene más de 40 años.

Los tres primeros forman un sistema completo de sucesos, y el porcentaje del tercero se obtiene por diferencia:

$P(E)=0{,}5 \qquad P(U)=0{,}3 \qquad P(R)=1-0{,}5-0{,}3=0{,}2$

Las proporciones de edad están referidas a cada procedencia, de modo que son probabilidades condicionadas:

$P(J|E)=\dfrac{2}{3} \qquad P(J|U)=\dfrac{1}{2} \qquad P(J|R)=\dfrac{1}{3}$



$\textbf{b) Si se selecciona un participante al azar, calcular la probabilidad de que no tenga más de 40 años. [0,7 puntos]}$

Sumamos las tres ramas del árbol que acaban en $J$, que es el teorema de la probabilidad total.

$P(J)=P(E)\,P(J|E)+P(U)\,P(J|U)+P(R)\,P(J|R)$

$P(J)=0{,}5\cdot\dfrac{2}{3}+0{,}3\cdot\dfrac{1}{2}+0{,}2\cdot\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{3}+\dfrac{3}{20}+\dfrac{1}{15}$

$P(J)=\dfrac{20+9+4}{60}=\dfrac{33}{60}=\dfrac{11}{20}=0{,}55$

La probabilidad de que un participante elegido al azar no tenga más de 40 años es $0{,}55$.

$\textbf{c) Si se elige al azar un participante del torneo y no tiene más de 40 años, ¿cuál es la probabilidad de que sea español? [0,7 puntos]}$

La condición es ahora la edad y la pregunta, la procedencia: se trata de una probabilidad a posteriori y se calcula con el teorema de Bayes.

$P(E|J)=\dfrac{P(E\cap J)}{P(J)}=\dfrac{P(E)\,P(J|E)}{P(J)}=\dfrac{\dfrac{1}{3}}{\dfrac{11}{20}}$

$P(E|J)=\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{20}{11}=\dfrac{20}{33}\approx 0{,}606$

Sabiendo que el participante no tiene más de 40 años, la probabilidad de que sea español es $\dfrac{20}{33}\approx 0{,}606$, algo mayor que el $50\%$ de partida porque los españoles son los que en mayor proporción están en ese tramo de edad.