Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2024

Entre los vehículos que revisa un taller mecánico:

El 48 % de ellos son coches, de los cuales las tres cuartas partes requieren reparación.

El 28 % son motocicletas y entre ellas la mitad requieren reparación.

El 24 % son furgonetas, de las cuales un tercio requieren reparación.

Se consideran los sucesos $C =$ «coche», $M =$ «motocicleta», $F =$ «furgoneta» y $R =$ «requiere reparación».

a) Indicar qué probabilidades de sucesos, condicionados o no, se consideran en el enunciado y cuáles son sus valores. [0,2 puntos]

b) Calcular $P(R \cap F)$, $P(R)$ y $P(C/R)$. [1,3 puntos]

c) ¿Son independientes los sucesos $C$ y $R$? [0,5 puntos]

$\textbf{a) Indicar qué probabilidades de sucesos, condicionados o no, se consideran en el enunciado y cuáles son sus valores. [0,2 puntos]}$

Los porcentajes de vehículos son probabilidades sin condicionar, y las tres marcas forman un sistema completo, porque suman el total:

$P(C)=0{,}48 \qquad P(M)=0{,}28 \qquad P(F)=0{,}24$

Las proporciones de reparación están referidas a cada tipo de vehículo, así que son condicionadas:

$P(R|C)=\dfrac{3}{4}=0{,}75 \qquad P(R|M)=\dfrac{1}{2}=0{,}5 \qquad P(R|F)=\dfrac{1}{3}$



$\textbf{b) Calcular } \boldsymbol{P(R \cap F)}\textbf{, } \boldsymbol{P(R)}\textbf{ y } \boldsymbol{P(C/R)}\textbf{. [1,3 puntos]}$

La primera es una intersección, que se obtiene multiplicando a lo largo de la rama correspondiente del árbol.

$P(R\cap F)=P(F)\,P(R|F)=0{,}24\cdot\dfrac{1}{3}=0{,}08$

La segunda se obtiene sumando las tres ramas que acaban en reparación, que es el teorema de la probabilidad total.

$P(R)=P(C)\,P(R|C)+P(M)\,P(R|M)+P(F)\,P(R|F)$

$P(R)=0{,}48\cdot 0{,}75+0{,}28\cdot 0{,}5+0{,}08=0{,}36+0{,}14+0{,}08$

$P(R)=0{,}58$

La tercera invierte el condicionamiento, de modo que aplicamos el teorema de Bayes.

$P(C/R)=\dfrac{P(C\cap R)}{P(R)}=\dfrac{0{,}36}{0{,}58}=\dfrac{18}{29}\approx 0{,}621$

Los tres valores pedidos son $P(R\cap F)=0{,}08$, $P(R)=0{,}58$ y $P(C/R)=\dfrac{18}{29}\approx 0{,}621$.

$\textbf{c) ¿Son independientes los sucesos } \boldsymbol{C}\textbf{ y } \boldsymbol{R}\textbf{? [0,5 puntos]}$

Dos sucesos son independientes cuando la probabilidad de su intersección coincide con el producto de sus probabilidades. Comparamos los dos números.

$P(C\cap R)=0{,}36$

$P(C)\cdot P(R)=0{,}48\cdot 0{,}58=0{,}2784$

$0{,}36\neq 0{,}2784$

Los sucesos $C$ y $R$ no son independientes. Se ve igual de bien comparando $P(R|C)=0{,}75$ con $P(R)=0{,}58$: saber que el vehículo es un coche aumenta la probabilidad de que necesite reparación.