Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2025

Un grupo de WhatsApp, formado por los alumnos de un gimnasio de judo, está compuesto por un 55 % de mujeres y el resto hombres. Se sabe que el 15 % del grupo es cinturón verde y que una quinta parte de las mujeres es cinturón verde.

a) ¿Qué porcentaje de hombres son cinturón verde? [1 punto]

b) Si el grupo recibe un mensaje enviado por un cinturón verde, calcular la probabilidad de que lo haya enviado una mujer. [0,75 puntos]

c) Si el mensaje no tiene información sobre el sexo y el color del cinturón del remitente, calcular la probabilidad de que sea hombre y cinturón verde. [0,75 puntos]

Nombramos los sucesos:

$M\equiv$ el mensaje lo envía una mujer; $H\equiv$ lo envía un hombre; $V\equiv$ lo envía un cinturón verde.

$P(M)=0{,}55 \qquad P(H)=1-0{,}55=0{,}45 \qquad P(V)=0{,}15$

Que una quinta parte de las mujeres sea cinturón verde es un dato referido solo a ellas, es decir, una probabilidad condicionada:

$P(V|M)=\dfrac{1}{5}=0{,}2$

$\textbf{a) ¿Qué porcentaje de hombres son cinturón verde? [1 punto]}$

Los sucesos $M$ y $H$ forman un sistema completo, así que la probabilidad de ser cinturón verde se reparte entre las dos ramas por el teorema de la probabilidad total. Aquí conocemos el total y falta una de las condicionadas, de modo que planteamos la igualdad y despejamos.

$P(V)=P(M)\,P(V|M)+P(H)\,P(V|H)$

$0{,}15=0{,}55\cdot 0{,}2+0{,}45\cdot P(V|H)$

$0{,}15=0{,}11+0{,}45\,P(V|H) \Rightarrow 0{,}45\,P(V|H)=0{,}04$

$P(V|H)=\dfrac{0{,}04}{0{,}45}=\dfrac{4}{45}\approx 0{,}0889$

Con esto queda completo el árbol del experimento:



El $8{,}89\%$ de los hombres del grupo es cinturón verde.

$\textbf{b) Si el grupo recibe un mensaje enviado por un cinturón verde, calcular la probabilidad de que lo haya enviado una mujer. [0,75 puntos]}$

La condición es ahora el color del cinturón y la pregunta, el sexo: es una probabilidad a posteriori, que se calcula con el teorema de Bayes.

$P(M|V)=\dfrac{P(M\cap V)}{P(V)}=\dfrac{P(M)\,P(V|M)}{P(V)}=\dfrac{0{,}55\cdot 0{,}2}{0{,}15}$

$P(M|V)=\dfrac{0{,}11}{0{,}15}=\dfrac{11}{15}\approx 0{,}733$

Si el mensaje lo ha enviado un cinturón verde, la probabilidad de que sea una mujer es $\dfrac{11}{15}\approx 0{,}733$.

$\textbf{c) Si el mensaje no tiene información sobre el sexo y el color del cinturón del remitente, calcular la probabilidad de que sea hombre y cinturón verde. [0,75 puntos]}$

Sin ninguna información previa se pide la probabilidad de la intersección, que es el producto de la rama correspondiente del árbol.

$P(H\cap V)=P(H)\,P(V|H)=0{,}45\cdot\dfrac{4}{45}=0{,}04$

La probabilidad de que el mensaje lo haya enviado un hombre cinturón verde es $0{,}04$, es decir, un $4\%$ del grupo.