Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2025

De una urna que contiene cuatro bolas rojas y dos azules, extraemos una bola y, sin devolverla a la urna, extraemos otra a continuación.

a) Hallar la probabilidad de que sean de distinto color. [0,75 puntos]

b) Hallar la probabilidad de que la segunda bola sea azul. [0,75 puntos]

c) Si la segunda bola es azul, hallar la probabilidad de que la primera sea roja. [1 punto]

Nombramos los sucesos $R_i\equiv$ «la bola $i$-ésima es roja» y $A_i\equiv$ «la bola $i$-ésima es azul», con $i=1,2$. La urna tiene $6$ bolas, $4$ rojas y $2$ azules, y la extracción es sin devolución, de modo que en la segunda quedan $5$ bolas y su composición depende de la primera.



$\textbf{a) Hallar la probabilidad de que sean de distinto color. [0,75 puntos]}$

Que sean de distinto color ocurre por dos caminos incompatibles del árbol: roja y luego azul, o azul y luego roja. Sumamos sus probabilidades.

$P(\text{distinto color})=P(R_1\cap A_2)+P(A_1\cap R_2)=\dfrac{4}{6}\cdot\dfrac{2}{5}+\dfrac{2}{6}\cdot\dfrac{4}{5}$

$P(\text{distinto color})=\dfrac{8}{30}+\dfrac{8}{30}=\dfrac{16}{30}=\dfrac{8}{15}\approx 0{,}533$

La probabilidad de que las dos bolas sean de distinto color es $\dfrac{8}{15}\approx 0{,}533$.

$\textbf{b) Hallar la probabilidad de que la segunda bola sea azul. [0,75 puntos]}$

El color de la segunda bola no está determinado por el de la primera, así que hay que recorrer los dos caminos que acaban en azul, que es el teorema de la probabilidad total.

$P(A_2)=P(R_1)\,P(A_2|R_1)+P(A_1)\,P(A_2|A_1)=\dfrac{4}{6}\cdot\dfrac{2}{5}+\dfrac{2}{6}\cdot\dfrac{1}{5}$

$P(A_2)=\dfrac{8}{30}+\dfrac{2}{30}=\dfrac{10}{30}=\dfrac{1}{3}$

La probabilidad de que la segunda bola sea azul es $\dfrac{1}{3}$, la misma que la de que lo sea la primera: el orden de extracción no altera la proporción de colores.

$\textbf{c) Si la segunda bola es azul, hallar la probabilidad de que la primera sea roja. [1 punto]}$

Ahora la condición es un suceso posterior y la pregunta, sobre uno anterior: es una probabilidad a posteriori y se calcula con el teorema de Bayes, aprovechando lo ya obtenido.

$P(R_1|A_2)=\dfrac{P(R_1\cap A_2)}{P(A_2)}=\dfrac{\dfrac{4}{6}\cdot\dfrac{2}{5}}{\dfrac{1}{3}}=\dfrac{\dfrac{8}{30}}{\dfrac{1}{3}}$

$P(R_1|A_2)=\dfrac{8}{30}\cdot 3=\dfrac{4}{5}=0{,}8$

Si la segunda bola es azul, la probabilidad de que la primera fuera roja es $\dfrac{4}{5}=0{,}8$.