Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2025

Se sabe que la probabilidad de que un autobús de línea regular entre Madrid y Burgos sufra un accidente en día nublado es $0{,}09$ y en día seco $0{,}005$. Durante un periodo de 10 días ha habido 7 días secos y 3 nublados. Sabiendo que se ha producido un accidente en esos días, se pide:

a) Hallar la probabilidad de que fuera en día nublado. [1,25 puntos]

b) Hallar la probabilidad de que fuera en día seco. [1,25 puntos]

Nombramos los sucesos:

$N\equiv$ el día es nublado; $S\equiv$ el día es seco; $A\equiv$ el autobús sufre un accidente.

De los $10$ días del periodo, $3$ fueron nublados y $7$ secos, y esas son las probabilidades a priori de cada tipo de día:

$P(N)=\dfrac{3}{10}=0{,}3 \qquad P(S)=\dfrac{7}{10}=0{,}7$

$P(A|N)=0{,}09 \qquad P(A|S)=0{,}005$



Los dos apartados preguntan por el tipo de día sabiendo que ha habido accidente, es decir, por probabilidades a posteriori, así que en ambos aplicaremos el teorema de Bayes. El denominador es común y lo calculamos una sola vez con el teorema de la probabilidad total:

$P(A)=P(N)\,P(A|N)+P(S)\,P(A|S)=0{,}3\cdot 0{,}09+0{,}7\cdot 0{,}005$

$P(A)=0{,}027+0{,}0035=0{,}0305$

$\textbf{a) Hallar la probabilidad de que fuera en día nublado. [1,25 puntos]}$

$P(N|A)=\dfrac{P(N\cap A)}{P(A)}=\dfrac{P(N)\,P(A|N)}{P(A)}=\dfrac{0{,}027}{0{,}0305}$

$P(N|A)=\dfrac{54}{61}\approx 0{,}885$

Sabiendo que hubo accidente, la probabilidad de que fuera un día nublado es $\dfrac{54}{61}\approx 0{,}885$.

$\textbf{b) Hallar la probabilidad de que fuera en día seco. [1,25 puntos]}$

$P(S|A)=\dfrac{P(S)\,P(A|S)}{P(A)}=\dfrac{0{,}0035}{0{,}0305}=\dfrac{7}{61}\approx 0{,}115$

Sabiendo que hubo accidente, la probabilidad de que fuera un día seco es $\dfrac{7}{61}\approx 0{,}115$.

Las dos probabilidades suman $1$, como debe ser, porque los días nublados y los secos agotan todas las posibilidades: a pesar de que hubo más del doble de días secos que nublados, un accidente es mucho más probable que se haya producido en día nublado, porque en él el riesgo es dieciocho veces mayor.