Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2026

Lucía, Gloria y María se reparten los ejercicios que la profesora de matemáticas asigna a su grupo. Lucía resuelve el 45 %, Gloria el 30 % y María el resto. Además, se sabe que Lucía resuelve correctamente el 90 % de los ejercicios que realiza, Gloria el 95 % y María el 80 %.

a) Describir los sucesos y todas las probabilidades que se mencionan utilizando una notación adecuada. [0,5 puntos]

Si la profesora escoge un ejercicio al azar:

b) Calcular la probabilidad de que el ejercicio esté resuelto correctamente. [1 punto]

c) Sabiendo que el ejercicio es incorrecto, calcular la probabilidad de que lo haya resuelto Gloria. [1 punto]

$\textbf{a) Describir los sucesos y todas las probabilidades que se mencionan utilizando una notación adecuada. [0,5 puntos]}$

Nombramos los sucesos:

$L\equiv$ el ejercicio lo ha resuelto Lucía; $G\equiv$ lo ha resuelto Gloria; $M\equiv$ lo ha resuelto María; $C\equiv$ el ejercicio está resuelto correctamente.

Los tres primeros forman un sistema completo de sucesos, y la parte de María se obtiene por diferencia:

$P(L)=0{,}45 \qquad P(G)=0{,}30 \qquad P(M)=1-0{,}45-0{,}30=0{,}25$

Los aciertos están referidos a los ejercicios que hace cada una, de modo que son probabilidades condicionadas:

$P(C|L)=0{,}90 \qquad P(C|G)=0{,}95 \qquad P(C|M)=0{,}80$

y de ellas se deducen las de los sucesos contrarios, $P(\overline{C}|L)=0{,}10$, $P(\overline{C}|G)=0{,}05$ y $P(\overline{C}|M)=0{,}20$, que completan el árbol del experimento.



$\textbf{b) Calcular la probabilidad de que el ejercicio esté resuelto correctamente. [1 punto]}$

Como $L$, $G$ y $M$ son incompatibles dos a dos y cubren todos los casos, aplicamos el teorema de la probabilidad total.

$P(C)=P(L)\,P(C|L)+P(G)\,P(C|G)+P(M)\,P(C|M)$

$P(C)=0{,}45\cdot 0{,}90+0{,}30\cdot 0{,}95+0{,}25\cdot 0{,}80$

$P(C)=0{,}405+0{,}285+0{,}200=0{,}89$

La probabilidad de que un ejercicio elegido al azar esté bien resuelto es $0{,}89$.

$\textbf{c) Sabiendo que el ejercicio es incorrecto, calcular la probabilidad de que lo haya resuelto Gloria. [1 punto]}$

La condición está ahora al final del experimento, así que se trata de una probabilidad a posteriori y se calcula con el teorema de Bayes. Empezamos por la probabilidad del suceso contrario del apartado anterior:

$P(\overline{C})=1-P(C)=1-0{,}89=0{,}11$

$P(G|\overline{C})=\dfrac{P(G\cap\overline{C})}{P(\overline{C})}=\dfrac{P(G)\,P(\overline{C}|G)}{P(\overline{C})}$

$P(G|\overline{C})=\dfrac{0{,}30\cdot 0{,}05}{0{,}11}=\dfrac{0{,}015}{0{,}11}=\dfrac{3}{22}\approx 0{,}136$

Sabiendo que un ejercicio está mal resuelto, la probabilidad de que lo haya hecho Gloria es $\dfrac{3}{22}\approx 0{,}136$, la menor de las tres pese a que Gloria resuelve casi un tercio de los ejercicios: es la que menos se equivoca.