Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2026

De una bolsa de 20 fichas numeradas del 1 al 20 se extraen sucesivamente 2 fichas sin reemplazamiento. Se pide:

a) Calcular la probabilidad de que ambos números sean múltiplos de 3. [0,5 puntos]

b) Calcular la probabilidad de que el primer número sea múltiplo de 6 y el segundo sea múltiplo de 3. [0,75 puntos]

c) Calcular la probabilidad de que ninguno de los dos números sea múltiplo de 2. [0,75 puntos]

d) Calcular la probabilidad de que la segunda ficha sea un número impar, sabiendo que la primera también lo ha sido. [0,5 puntos]

Las dos extracciones son sin reemplazamiento, de modo que en la segunda quedan $19$ fichas y la composición de la bolsa depende de lo que haya salido en la primera. Entre los números del $1$ al $20$ conviene tener a la vista estos recuentos:

$\text{múltiplos de }3:\ \{3,6,9,12,15,18\}\ \to\ 6$

$\text{múltiplos de }6:\ \{6,12,18\}\ \to\ 3$

$\text{múltiplos de }2:\ 10 \qquad \text{impares}:\ 10$

$\textbf{a) Calcular la probabilidad de que ambos números sean múltiplos de 3. [0,5 puntos]}$

Se trata de la intersección de dos sucesos dependientes, así que multiplicamos la probabilidad de la primera extracción por la de la segunda condicionada a ella. Si la primera ficha es múltiplo de $3$, quedan $5$ de ellos entre las $19$ fichas restantes.

$P=\dfrac{6}{20}\cdot\dfrac{5}{19}=\dfrac{30}{380}=\dfrac{3}{38}\approx 0{,}079$

La probabilidad de que los dos números sean múltiplos de $3$ es $\dfrac{3}{38}\approx 0{,}079$.

$\textbf{b) Calcular la probabilidad de que el primer número sea múltiplo de 6 y el segundo sea múltiplo de 3. [0,75 puntos]}$

Todo múltiplo de $6$ es también múltiplo de $3$, así que al retirar la primera ficha quedan de nuevo $5$ múltiplos de $3$ entre las $19$ restantes.

$P=\dfrac{3}{20}\cdot\dfrac{5}{19}=\dfrac{15}{380}=\dfrac{3}{76}\approx 0{,}039$

La probabilidad pedida es $\dfrac{3}{76}\approx 0{,}039$.

$\textbf{c) Calcular la probabilidad de que ninguno de los dos números sea múltiplo de 2. [0,75 puntos]}$

Que un número no sea múltiplo de $2$ equivale a que sea impar, y hay $10$ impares entre las $20$ fichas.

$P=\dfrac{10}{20}\cdot\dfrac{9}{19}=\dfrac{90}{380}=\dfrac{9}{38}\approx 0{,}237$

La probabilidad de que ninguno de los dos números sea par es $\dfrac{9}{38}\approx 0{,}237$.

$\textbf{d) Calcular la probabilidad de que la segunda ficha sea un número impar, sabiendo que la primera también lo ha sido. [0,5 puntos]}$

Llamamos $I_1$ e $I_2$ a los sucesos «la primera ficha es impar» y «la segunda ficha es impar». Ahora el resultado de la primera extracción está dado, así que basta contar sobre la bolsa que queda: $19$ fichas, de las cuales $9$ son impares.

$P(I_2\mid I_1)=\dfrac{9}{19}\approx 0{,}474$

También puede obtenerse a partir del apartado anterior, dividiendo por la probabilidad de la condición:

$P(I_2\mid I_1)=\dfrac{P(I_1\cap I_2)}{P(I_1)}=\dfrac{9/38}{10/20}=\dfrac{9}{38}\cdot\dfrac{20}{10}=\dfrac{9}{19}$

La probabilidad de que la segunda ficha sea impar sabiendo que la primera lo fue es $\dfrac{9}{19}\approx 0{,}474$.