Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Navarra · 2022

Una onda armónica transversal se propaga en el sentido positivo del eje X de una cuerda con una amplitud de 0,2 m. Un punto de la cuerda tarda 1 s en completar una oscilación y la longitud de onda es de 10 cm. En el instante inicial ($t=0$), el punto de la cuerda situado sobre el origen de coordenadas se encuentra a 0,2 m por encima del punto de equilibrio.

a) Ecuación de onda. (1,25 puntos)
b) ¿Cuál es la diferencia de fase entre dos puntos separados un cuarto de longitud de onda? (0,5 puntos)
c) Expresión de la aceleración de los puntos de la cuerda en función del tiempo. (0,5 puntos)
d) Valores máximos de la velocidad y la aceleración de los puntos de la cuerda. (0,25 puntos)

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Ecuaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{onda.}}\mathbf{\text{(1,25}}\mathbf{\text{puntos)}}$



Se parte de la ecuación general de una onda armónica que avanza en el sentido positivo del eje X y se identifican las constantes:

$y(x,t)=A\cos (\omega t-kx+{\phi }_0)$

Se elige el coseno porque en el instante inicial el punto del origen está en un máximo.

$A=\mathrm{0,2}\text{ m}$

$\omega ={\displaystyle \frac{2\pi }{T}}={\displaystyle \frac{2\pi }{1}}=2\pi \text{ rad/s}$

Se pasa la longitud de onda a unidades del Sistema Internacional:

$\lambda =10\text{ cm}=\mathrm{0,1}\text{ m}\Rightarrow k={\displaystyle \frac{2\pi }{\mathrm{0,1}}}=20\pi \text{ rad/m}$

Y la fase inicial sale de la condición del enunciado:

$y(0,0)=\mathrm{0,2}\cos {\phi }_0=\mathrm{0,2}\Rightarrow \cos {\phi }_0=1\Rightarrow {\phi }_0=0$

$y(x,t)=\mathrm{0,2}\cos (2\pi t-20\pi x)\text{ m}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{diferencia}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{fase}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{puntos}}\mathbf{\text{separados}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{cuarto}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{longitud}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{onda?}}\mathbf{\text{(0,5}}\mathbf{\text{puntos)}}$

La diferencia de fase entre dos puntos separados $\mathrm{\Delta }x$ es:

$\mathrm{\Delta }\phi =k\mathrm{\Delta }x={\displaystyle \frac{2\pi }{\lambda }}\cdot {\displaystyle \frac{\lambda }{4}}$

$\mathrm{\Delta }\phi ={\displaystyle \frac{\pi }{2}}\text{ rad}$

Dos puntos separados un cuarto de longitud de onda vibran siempre en cuadratura, sea cual sea la onda: cuando uno pasa por la posición de equilibrio, el otro está en un extremo.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Expresi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{aceleraci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{puntos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{cuerda}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{tiempo.}}\mathbf{\text{(0,5}}\mathbf{\text{puntos)}}$

La aceleración es la derivada segunda de la elongación respecto del tiempo:

$v_y={\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }y}{\mathrm{\partial }t}}=-\mathrm{0,2}\cdot 2\pi \mathrm{sen}(2\pi t-20\pi x)$

$a_y={\displaystyle \frac{{\mathrm{\partial }}^{2}y}{\mathrm{\partial }{t}^2}}=-\mathrm{0,2}(2\pi {)}^2\cos (2\pi t-20\pi x)$

$a_y=-\mathrm{7,90}\cos (2\pi t-20\pi x){\text{m/s}}^2$

Se puede escribir de forma más compacta, y es la relación característica del movimiento armónico simple:

$a_y=-{\omega }^{2}y$

$\mathbf{\text{d)}}\mathbf{\text{Valores}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{aceleraci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{puntos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{cuerda.}}\mathbf{\text{(0,25}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Los máximos se alcanzan cuando el seno y el coseno valen 1:

$v_{\max }=A\omega =\mathrm{0,2}\cdot 2\pi =\mathrm{1,26}\text{ m/s}$

$a_{\max }=A{\omega }^2=\mathrm{0,2}\cdot (2\pi {)}^2=\mathrm{7,90}{\text{m/s}}^2$

La velocidad máxima, $\mathrm{1,26}\text{ m/s}$, se da al pasar por la posición de equilibrio, y la aceleración máxima, $\mathrm{7,90}{\text{m/s}}^2$, en los extremos.