Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Navarra · 2022

(A) Ecuación general de las ondas armónicas. Explicar cada uno de los términos. (1,25 puntos)

(B) En las gráficas se representa la elongación de los puntos de una onda armónica transversal, que se desplaza en el eje X, para $t=0$ en función de la posición y para el punto situado en $x=0$ en función del tiempo.
















Hallar:

a) Amplitud, longitud de onda, periodo y velocidad de propagación de la onda. (0,5 puntos)
b) Expresión de la ecuación de onda. (0,75 puntos)

$\mathbf{\text{(A)}}\mathbf{\text{Ecuaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{general}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{ondas}}\mathbf{\text{arm}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{nicas.}}\mathbf{\text{Explicar}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{uno}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{t}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{rminos.}}\mathbf{\text{(1,25}}\mathbf{\text{puntos)}}$



Una onda armónica unidimensional que se propaga en el sentido positivo del eje X se describe con:

$y(x,t)=A\mathrm{sen}(\omega t-kx+{\phi }_0)$

Si la onda avanza en sentido contrario, el término en $x$ cambia de signo y los dos aparecen sumados.

Cada término significa lo siguiente:

- $y$ es la $\mathbf{\text{elongaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}$: la separación del punto respecto de su posición de equilibrio, en metros.
- $A$ es la $\mathbf{\text{amplitud}}$, la elongación máxima, en metros.
- $\omega =2\pi f=2\pi \mathrm{/}T$ es la $\mathbf{\text{frecuencia}}\mathbf{\text{angular}}$, en radianes por segundo; recoge la periodicidad temporal.
- $k=2\pi \mathrm{/}\lambda$ es el $\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{onda}}$, en radianes por metro; recoge la periodicidad espacial.
- ${\phi }_0$ es la $\mathbf{\text{fase}}\mathbf{\text{inicial}}$, en radianes: fija el estado de vibración del origen en el instante inicial.
- El paréntesis completo es la $\mathbf{\text{fase}}$, y su valor determina el estado de vibración de cada punto en cada instante.

De la ecuación se leen además las dos relaciones básicas:

$v={\displaystyle \frac{\omega }{k}}=\lambda f$

donde $v$ es la velocidad de propagación, que no debe confundirse con la velocidad de vibración de los puntos, $v_y=\mathrm{\partial }y\mathrm{/}\mathrm{\partial }t$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Amplitud,}}\mathbf{\text{longitud}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{onda,}}\mathbf{\text{periodo}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{propagaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{onda.}}\mathbf{\text{(0,5}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Los datos se leen directamente de las dos gráficas.

De la primera, que representa la onda en el espacio para $t=0$, se obtienen la amplitud y la longitud de onda:

$A=6\text{ m}\lambda =2\text{ m}$

De la segunda, que representa la oscilación del punto $x=0$ a lo largo del tiempo, se obtiene el periodo:

$T=1\text{ s}$

Y con ellos, la velocidad de propagación:

$v={\displaystyle \frac{\lambda }{T}}={\displaystyle \frac{2}{1}}=2\text{ m/s}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Expresi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{ecuaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{onda.}}\mathbf{\text{(0,75}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Se calculan las dos constantes que faltan:

$\omega ={\displaystyle \frac{2\pi }{T}}=2\pi \text{ rad/s}k={\displaystyle \frac{2\pi }{\lambda }}=\pi \text{ rad/m}$

En las dos gráficas la curva sale del origen creciendo, es decir:

$y(x,0)=6\mathrm{sen}(\pi x)y(0,t)=6\mathrm{sen}(2\pi t)$

Para que la ecuación general reproduzca las dos a la vez, la fase inicial ha de ser nula y los términos en $t$ y en $x$ han de llevar el $\mathbf{\text{mismo}}\mathbf{\text{signo}}$:

$y(x,t)=6\mathrm{sen}(2\pi t+\pi x)\text{ m}$

Y ese mismo signo significa que la onda se propaga en el $\mathbf{\text{sentido}}\mathbf{\text{negativo}}$ del eje X: al aumentar el tiempo, la fase se mantiene si $x$ disminuye.