Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Navarra · 2020

Una onda transversal, en unidades del sistema internacional, se propaga en un medio según la ecuación: $y=\mathrm{0,5}\cos (10t-\mathrm{0,2}x)$ Hallar:

(a) Longitud de onda, frecuencia y velocidad de propagación (0,5 puntos)
(b) Tiempo que tarda la onda en recorrer 20 m. (1 punto)
(c) Velocidad de oscilación de una partícula situada en $x=20m$ en el instante $t=\mathrm{0,5}$ s. (0,5 puntos)
(d) Aceleración de una partícula situada en $x=20m$ en el instante $t=\mathrm{0,5}$ s. (0,5 puntos)

$\mathbf{\text{(a)}}\mathbf{\text{Longitud}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{onda,}}\mathbf{\text{frecuencia}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{propagaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{(0,5}}\mathbf{\text{puntos)}}$



Se identifican los términos de la ecuación dada con los de la ecuación general de una onda armónica:

$y(x,t)=A\cos (\omega t-kx+{\phi }_0)$

$\omega =10\text{ rad/s}k=\mathrm{0,2}\text{ rad/m}$

$\lambda ={\displaystyle \frac{2\pi }{k}}={\displaystyle \frac{2\pi }{\mathrm{0,2}}}=\mathrm{31,4}\text{ m}$

$f={\displaystyle \frac{\omega }{2\pi }}={\displaystyle \frac{10}{2\pi }}=\mathrm{1,59}\text{ Hz}$

$v={\displaystyle \frac{\omega }{k}}={\displaystyle \frac{10}{\mathrm{0,2}}}=50\text{ m/s}$

$\mathbf{\text{(b)}}\mathbf{\text{Tiempo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{tarda}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{onda}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{recorrer}}\mathbf{\text{20}}\mathbf{\text{m.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

La onda avanza con velocidad constante, así que basta con la definición de velocidad:

$v={\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }x}{\mathrm{\Delta }t}}\Rightarrow \mathrm{\Delta }t={\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }x}{v}}={\displaystyle \frac{20}{50}}$

$\mathrm{\Delta }t=\mathrm{0,4}\text{ s}$



La velocidad de oscilación es la derivada de la elongación respecto del tiempo:

$v_y={\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }y}{\mathrm{\partial }t}}=-\mathrm{0,5}\cdot 10\mathrm{sen}(10t-\mathrm{0,2}x)$

Se calcula la fase en ese punto y ese instante:

$\phi =10\cdot \mathrm{0,5}-\mathrm{0,2}\cdot 20=5-4=1\text{ rad}$

$v_y=-5\mathrm{sen}(1)=-\mathrm{4,21}\text{ m/s}$



En un movimiento armónico simple la aceleración es proporcional a la elongación y de signo contrario:

$a_y={\displaystyle \frac{{\mathrm{\partial }}^{2}y}{\mathrm{\partial }{t}^2}}=-{\omega }^{2}y=-{10}^2\cdot \mathrm{0,5}\cos (1)$

$a_y=-\mathrm{27,0}{\text{m/s}}^2$

En ese instante la partícula está por encima de su posición de equilibrio, bajando a $\mathrm{4,21}\text{ m/s}$ y con una aceleración de $\mathrm{27,0}{\text{m/s}}^2$ dirigida hacia el equilibrio.