Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Navarra · 2020

(A) Intensidad sonora. Definición y unidades. Umbral de audición y umbral de dolor. (1 punto)

(B) Un sonido (1) tiene un nivel de intensidad de 3 dB y otro sonido (2) de 9 dB en un mismo punto.

(a) Hallar la relación de las intensidades de las dos ondas sonoras. (0,5 puntos)
(b) Hallar la relación de las potencias sonoras, emitidas si el sonido 1 es emitido desde una distancia de 5 m y el sonido 2 desde 10 m (1 punto)

Dato: $I_o=\mathrm{1,0}\cdot {10}^{-12}W{m}^{-2}$

$\mathbf{\text{(A)}}\mathbf{\text{Intensidad}}\mathbf{\text{sonora.}}\mathbf{\text{Definici}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{unidades.}}\mathbf{\text{Umbral}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{audici}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{umbral}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{dolor.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$



La intensidad sonora en un punto es la energía que la onda transporta por unidad de tiempo a través de la unidad de superficie perpendicular a la propagación:

$I={\displaystyle \frac{P}{S}}={\displaystyle \frac{P}{4\pi r^2}}$

en $\text{W}{\text{m}}^{-2}$. La última expresión vale para un foco puntual.

El $\mathbf{\text{umbral}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{audici}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}$ es la intensidad mínima que el oído humano puede detectar, y se toma como referencia:

$I_0={10}^{-12}\text{ W}{\text{m}}^{-2}$

El $\mathbf{\text{umbral}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{dolor}}$ es la intensidad a partir de la cual el sonido resulta doloroso y daña el oído:

$I=1\text{ W}{\text{m}}^{-2}$

Entre uno y otro hay doce órdenes de magnitud, y por eso se usa la escala logarítmica del nivel de intensidad sonora, $\beta =10\log (I\mathrm{/}{I}_0)$, en la que el umbral de audición son 0 dB y el de dolor, 120 dB.

$\mathbf{\text{(a)}}\mathbf{\text{Hallar}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{relaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{intensidades}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{ondas}}\mathbf{\text{sonoras.}}\mathbf{\text{(0,5}}\mathbf{\text{puntos)}}$

De la definición del nivel se despeja cada intensidad:

$I_1=I_0\cdot {10}^{3\mathrm{/}10}{I}_2=I_0\cdot {10}^{9\mathrm{/}10}$

Y su cociente no depende del umbral:

${\displaystyle \frac{I_2}{I_1}}={10}^{(9-3)\mathrm{/}10}={10}^{\mathrm{0,6}}$

${\displaystyle \frac{I_2}{I_1}}=\mathrm{3,98}$

El segundo sonido es casi cuatro veces más intenso que el primero, aunque su nivel solo sea el triple en decibelios: esa es justamente la razón de ser de la escala logarítmica.

$\mathbf{\text{(b)}}\mathbf{\text{Hallar}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{relaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{potencias}}\mathbf{\text{sonoras,}}\mathbf{\text{emitidas}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sonido}}\mathbf{\text{1}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{emitido}}\mathbf{\text{desde}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{distancia}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{5}}\mathbf{\text{m}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sonido}}\mathbf{\text{2}}\mathbf{\text{desde}}\mathbf{\text{10}}\mathbf{\text{m}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

Suponiendo focos puntuales, la potencia se relaciona con la intensidad en el punto de medida:

$P=I\cdot 4\pi r^2$

${\displaystyle \frac{P_2}{P_1}}={\displaystyle \frac{I_2{r}_2^2}{I_1{r}_1^2}}=\mathrm{3,98}\cdot {\displaystyle \frac{{10}^2}{5^2}}=\mathrm{3,98}\cdot 4$

${\displaystyle \frac{P_2}{P_1}}=\mathrm{15,9}$

El segundo foco emite casi dieciséis veces más potencia que el primero: cuatro veces más porque llega con más intensidad y otras cuatro porque lo hace desde el doble de distancia.