Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Navarra · 2020

A) Ondas armónicas. Ecuación y explicar cada término indicando sus unidades (1 punto)

B) Una onda transversal se propaga por una cuerda sobre el eje OX según la ecuación $y(x,t)=6\mathrm{sen}[2\pi (100t-\mathrm{0,5}x)](S\mathrm{.}I\mathrm{.})$

a) Hallar la velocidad de propagación y la máxima velocidad de vibración (1 punto)
b) Distancia mínima entre dos puntos que vibran en fase (0,5 puntos)

$\mathbf{\text{A)}}\mathbf{\text{Ondas}}\mathbf{\text{arm}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{nicas.}}\mathbf{\text{Ecuaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{explicar}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{t}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{rmino}}\mathbf{\text{indicando}}\mathbf{\text{sus}}\mathbf{\text{unidades}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$



Una onda armónica unidimensional que se propaga en el sentido positivo del eje X se describe con:

$y(x,t)=A\mathrm{sen}(\omega t-kx+{\phi }_0)$

Si avanza en sentido contrario, los dos términos aparecen sumados.

Cada término significa lo siguiente:

- $y$, la $\mathbf{\text{elongaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}$: la separación del punto respecto de su equilibrio, en metros.
- $A$, la $\mathbf{\text{amplitud}}$: la elongación máxima, en metros.
- $\omega =2\pi \mathrm{/}T$, la $\mathbf{\text{frecuencia}}\mathbf{\text{angular}}$, en $\text{rad/s}$.
- $k=2\pi \mathrm{/}\lambda$, el $\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{onda}}$, en $\text{rad/m}$.
- ${\phi }_0$, la $\mathbf{\text{fase}}\mathbf{\text{inicial}}$, en radianes.

La doble periodicidad, en el tiempo y en el espacio, es lo que caracteriza a una onda, y de ella salen las relaciones $v=\omega \mathrm{/}k=\lambda f$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Hallar}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{propagaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{xima}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{vibraci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

Se desarrolla el paréntesis para identificar los términos:

$y(x,t)=6\mathrm{sen}[2\pi (100t-\mathrm{0,5}x)]=6\mathrm{sen}(200\pi t-\pi x)$

$\omega =200\pi \text{ rad/s}k=\pi \text{ rad/m}A=6\text{ m}$

La velocidad de propagación es:

$v={\displaystyle \frac{\omega }{k}}={\displaystyle \frac{200\pi }{\pi }}=200\text{ m/s}$

Y la velocidad máxima de vibración de cada punto, que es la de su movimiento armónico simple:

$v_{\max }=A\omega =6\cdot 200\pi =\mathrm{3,77}\cdot {10}^3\text{ m/s}$

Conviene subrayar la diferencia: la onda avanza a $200\text{ m/s}$, pero cada punto de la cuerda llega a moverse, transversalmente, casi veinte veces más deprisa.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Distancia}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nima}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{puntos}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{vibran}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{fase}}\mathbf{\text{(0,5}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Dos puntos vibran en fase cuando su diferencia de fase es un múltiplo entero de $2\pi$:

$\mathrm{\Delta }\phi =k\mathrm{\Delta }x=2\pi n$

La distancia mínima corresponde a $n=1$:

$\mathrm{\Delta }x={\displaystyle \frac{2\pi }{k}}={\displaystyle \frac{2\pi }{\pi }}=2\text{ m}$

Es, por definición, la longitud de onda: $\lambda =2\text{ m}$.