Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Navarra · 2021

Una onda transversal sinusoidal de 10 cm de amplitud y longitud de onda 200 cm se propaga en sentido positivo del eje X con una velocidad de 100 cm/s. Tomamos como origen la posición $x=0$. En el instante inicial el origen tiene una elongación $y=0$ y su velocidad es negativa. Hallar:

a) ecuación de onda (1 punto)
b) máxima velocidad de vibración de cualquier partícula de la cuerda. (0,5 puntos)
c) velocidad y elongación de una partícula situada a 150 cm a la derecha del origen en $t=\mathrm{3,25}$ s (1 punto)

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{ecuaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{onda}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$



Se parte de la ecuación general de una onda armónica que avanza en el sentido positivo del eje X:

$y(x,t)=A\mathrm{sen}(\omega t-kx+{\phi }_0)$

y se pasan antes todos los datos a unidades del Sistema Internacional:

$A=\mathrm{0,1}\text{ m}\lambda =2\text{ m}v=1\text{ m/s}$

$f={\displaystyle \frac{v}{\lambda }}={\displaystyle \frac{1}{2}}=\mathrm{0,5}\text{ Hz}$

$\omega =2\pi f=\pi \text{ rad/s}k={\displaystyle \frac{2\pi }{\lambda }}=\pi \text{ rad/m}$

La fase inicial sale de las dos condiciones del enunciado. Elongación nula en el origen en $t=0$:

$\mathrm{sen}{\phi }_0=0\Rightarrow {\phi }_0=0\text{o}{\phi }_0=\pi$

Y velocidad negativa en ese instante:

$v_y(0,0)=A\omega \cos {\phi }_0<0\Rightarrow {\phi }_0=\pi \text{ rad}$

$y(x,t)=\mathrm{0,1}\mathrm{sen}(\pi t-\pi x+\pi )\text{ m}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{xima}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{vibraci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{cualquier}}\mathbf{\text{part}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{cula}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{cuerda.}}\mathbf{\text{(0,5}}\mathbf{\text{puntos)}}$

La velocidad de vibración es la derivada de la elongación respecto del tiempo, y su valor máximo se alcanza al pasar por la posición de equilibrio:

$v_{\max }=A\omega =\mathrm{0,1}\cdot \pi =\mathrm{0,314}\text{ m/s}$

Conviene no confundirla con la velocidad de propagación de la onda, que vale 1 m/s: son magnitudes distintas y en este caso ni siquiera coinciden en orden.



Se calcula primero la fase en ese punto y ese instante, con $x=\mathrm{1,5}\text{ m}$:

$\phi =\pi \cdot \mathrm{3,25}-\pi \cdot \mathrm{1,5}+\pi =\mathrm{2,75}\pi \text{ rad}$

Restando una vuelta completa, $2\pi$, queda $\mathrm{0,75}\pi$, y con ella:

$y=\mathrm{0,1}\mathrm{sen}(\mathrm{0,75}\pi )=\mathrm{7,07}\cdot {10}^{-2}\text{ m}$

$v_y=A\omega \cos \phi =\mathrm{0,1}\pi \cos (\mathrm{0,75}\pi )=-\mathrm{0,222}\text{ m/s}$

En ese instante la partícula está $\mathrm{7,07}\text{ cm}$ por encima de su posición de equilibrio y bajando a $\mathrm{0,222}\text{ m/s}$.