Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2023

Campo gravitatorio terrestre. Energía potencial en las proximidades de la superficie terrestre. Definir el campo (intensidad) gravitatorio explicando cada uno de sus términos. Valor de $g_o$. Deducir, de la forma general de la energía potencial, el valor en las proximidades de la superficie ($mgh$). (2,5 puntos)

La $\mathbf{\text{intensidad}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{campo}}\mathbf{\text{gravitatorio}}$ en un punto es la fuerza que el campo ejerce sobre la unidad de masa colocada en él:

$\vec{g}={\displaystyle \frac{\vec{F}}{m}}=-G{\displaystyle \frac{M_T}{r^2}}{\vec{u}}_r$





En esa expresión:

- $G=\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\text{ N}{\text{m}}^2{\text{kg}}^{-2}$ es la constante de gravitación universal, la misma en todo el universo;
- $M_T$ es la masa de la Tierra, que es la que crea el campo;
- $r$ es la distancia desde el centro de la Tierra al punto considerado;
- ${\vec{u}}_r$ es el vector unitario que va del centro de la Tierra al punto, y el signo menos indica que el campo apunta siempre hacia la Tierra: la interacción gravitatoria es siempre atractiva.

Se mide en $\text{N/kg}$, que equivale a ${\text{m/s}}^2$, y de hecho coincide con la aceleración con la que cae un cuerpo abandonado en ese punto.

En la superficie terrestre, con $r=R_T=\mathrm{6,37}\cdot {10}^6\text{ m}$:

$g_0=G{\displaystyle \frac{M_T}{R_T^2}}={\displaystyle \frac{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{5,97}\cdot {10}^{24}}{(\mathrm{6,37}\cdot {10}^6{)}^2}}=\mathrm{9,81}{\text{m/s}}^2$

$\mathbf{\text{De}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{energ}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{potencial}}\mathbf{\text{general}}\mathbf{\text{a}}mgh$

La energía potencial de una masa $m$ situada a una distancia $r$ del centro de la Tierra, tomando el origen en el infinito, es:

$E_p=-G{\displaystyle \frac{M_{T}m}{r}}$

Si el cuerpo se eleva desde la superficie hasta una altura $h$, la variación de energía potencial es:

$\mathrm{\Delta }{E}_p=-G{\displaystyle \frac{M_{T}m}{R_T+h}}+G{\displaystyle \frac{M_{T}m}{R_T}}=G{M}_{T}m({\displaystyle \frac{1}{R_T}}-{\displaystyle \frac{1}{R_T+h}})$

Poniendo denominador común:

$\mathrm{\Delta }{E}_p=G{M}_{T}m{\displaystyle \frac{h}{R_T(R_T+h)}}$

Y aquí entra la aproximación: en las proximidades de la superficie la altura es despreciable frente al radio terrestre, $h\ll R_T$, de modo que $R_T+h\approx R_T$:

$\mathrm{\Delta }{E}_p\approx G{M}_{T}m{\displaystyle \frac{h}{R_T^2}}=m\left(G{\displaystyle \frac{M_T}{R_T^2}}\right)h$

$\mathrm{\Delta }{E}_p=m{g}_{0}h$

Que es la expresión conocida. Conviene subrayar sus dos límites: solo vale cerca de la superficie, donde $g_0$ puede considerarse constante, y no es una energía potencial absoluta sino una $\mathbf{\text{variaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}$, porque implícitamente se ha tomado el origen de potenciales en la superficie y no en el infinito.