Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2021

(A) Deducción de la velocidad y la energía en una órbita circular (1 punto)

(B) Un satélite de 500 kg orbita en una órbita circular alrededor de un planeta con un periodo de 20 h y a una distancia de su centro de $\mathrm{3,75}\cdot {10}^7\text{ m}$.

a) Hallar el valor de la constante de gravitación universal G (0,5 puntos)
b) Cuál es el valor de la fuerza a la que se ve sometido el satélite. (0,5 puntos)
c) Hallar la energía mecánica del satélite (0,5 puntos)

Datos: $M_{\text{planeta}}=6\cdot {10}^{24}kg$

$\mathbf{\text{(A)}}\mathbf{\text{Deducci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{energ}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{una}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{rbita}}\mathbf{\text{circular}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$










En una órbita circular la única fuerza que actúa sobre el satélite es la atracción gravitatoria del planeta, y esa fuerza es la que hace de fuerza centrípeta. Por la segunda ley de Newton:

$G{\displaystyle \frac{Mm}{r^2}}={\displaystyle \frac{m{v}^2}{r}}$





Simplificando la masa del satélite se obtiene la velocidad orbital:

$v=\sqrt{{\displaystyle \frac{GM}{r}}}$

que no depende de la masa del satélite y disminuye al alejarse del planeta.

Para la energía se suman la cinética y la potencial:

$E={\displaystyle \frac{1}{2}}m{v}^2-G{\displaystyle \frac{Mm}{r}}$

Sustituyendo $v^2=GM\mathrm{/}r$, la energía cinética resulta ser la mitad del valor absoluto de la potencial:

$E={\displaystyle \frac{GMm}{2r}}-G{\displaystyle \frac{Mm}{r}}$

$E=-G{\displaystyle \frac{Mm}{2r}}$

El resultado es negativo, como corresponde a un sistema ligado: para escapar de la órbita habría que aportarle esa misma cantidad de energía.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Hallar}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{constante}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{gravitaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{universal}}\mathbf{\text{G}}\mathbf{\text{(0,5}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Se combina la velocidad orbital con la del movimiento circular uniforme para llegar a la tercera ley de Kepler:

$v={\displaystyle \frac{2\pi r}{T}}\Rightarrow {\displaystyle \frac{4{\pi }^2{r}^2}{T^2}}={\displaystyle \frac{GM}{r}}\Rightarrow G={\displaystyle \frac{4{\pi }^2{r}^3}{M{T}^2}}$

Se pasa el periodo a segundos:

$T=20\text{ h}\cdot 3.600{\displaystyle \frac{\text{s}}{\text{h}}}=\mathrm{7,2}\cdot {10}^4\text{ s}$

$G={\displaystyle \frac{4{\pi }^2\cdot (\mathrm{3,75}\cdot {10}^7{)}^3}{6\cdot {10}^{24}\cdot (\mathrm{7,2}\cdot {10}^4{)}^2}}=\mathrm{6,69}\cdot {10}^{-11}\text{ N}{\text{m}}^2{\text{kg}}^{-2}$

El valor obtenido coincide con el tabulado, $\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}$, dentro del error de los datos.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{fuerza}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{ve}}\mathbf{\text{sometido}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sat}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{lite.}}\mathbf{\text{(0,5}}\mathbf{\text{puntos)}}$

$F=G{\displaystyle \frac{Mm}{r^2}}={\displaystyle \frac{\mathrm{6,69}\cdot {10}^{-11}\cdot 6\cdot {10}^{24}\cdot 500}{(\mathrm{3,75}\cdot {10}^7{)}^2}}$

$F=\mathrm{1,43}\cdot {10}^2\text{ N}$

Sobre el satélite actúa una fuerza de $\mathrm{1,43}\cdot {10}^2\text{ N}$, siempre dirigida hacia el centro del planeta.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Hallar}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{energ}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{mec}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{nica}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{sat}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{lite}}\mathbf{\text{(0,5}}\mathbf{\text{puntos)}}$

$E=-G{\displaystyle \frac{Mm}{2r}}=-{\displaystyle \frac{\mathrm{6,69}\cdot {10}^{-11}\cdot 6\cdot {10}^{24}\cdot 500}{2\cdot \mathrm{3,75}\cdot {10}^7}}$

$E=-\mathrm{2,68}\cdot {10}^9\text{ J}$

La energía mecánica del satélite es de $-\mathrm{2,68}\cdot {10}^9\text{ J}$.