Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2021

Una de las lunas de Júpiter describe una órbita, que supondremos circular, de radio $\mathrm{422,0}\cdot {10}^6\text{ m}$ con un periodo de $\mathrm{1,53}\cdot {10}^5$ s.

a) Hallar la masa de Júpiter (1 punto)

Sabiendo que la densidad promedio de Júpiter es $\mathrm{1,33}{\text{g/cm}}^3$ y supuesto el planeta esférico:

b) ¿Cuál sería el peso de una persona en la superficie de Júpiter, si su peso en la superficie de la Tierra es de 700 N? (1 punto)
c) ¿Cuál será la velocidad de escape de un cuerpo situado en su superficie? (0,5 puntos)

Datos: $G=\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}N{m}^2\mathrm{/}k{g}^2$; $g_o$ (superficie Tierra) $=\mathrm{9,8}{\text{m/s}}^2$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Hallar}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{masa}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{J}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{piter}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$










La atracción de Júpiter sobre su luna hace de fuerza centrípeta de la órbita circular:

$G{\displaystyle \frac{Mm}{r^2}}=m{\displaystyle \frac{4{\pi }^{2}r}{T^2}}$

Despejando la masa del planeta se obtiene la tercera ley de Kepler, en la que la masa de la luna se simplifica:

$M={\displaystyle \frac{4{\pi }^2{r}^3}{G{T}^2}}$





$M={\displaystyle \frac{4{\pi }^2\cdot (\mathrm{422,0}\cdot {10}^6{)}^3}{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot (\mathrm{1,53}\cdot {10}^5{)}^2}}$

$M=\mathrm{1,90}\cdot {10}^{27}\text{ kg}$

La masa de Júpiter es de $\mathrm{1,90}\cdot {10}^{27}\text{ kg}$, más de trescientas veces la de la Tierra.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{ser}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{peso}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{persona}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{superficie}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{J}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{piter,}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{peso}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{superficie}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{Tierra}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{700}}\mathbf{\text{N?}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

Primero hace falta el radio del planeta, que sale de su densidad suponiéndolo esférico. Se pasa la densidad a unidades del Sistema Internacional:

$\rho =\mathrm{1,33}{\displaystyle \frac{\text{g}}{{\text{cm}}^3}}=1.330{\displaystyle \frac{\text{kg}}{{\text{m}}^3}}$

$\rho ={\displaystyle \frac{M}{\frac{4}{3}\pi R^3}}\Rightarrow R=\sqrt[3]{{\displaystyle \frac{3M}{4\pi \rho }}}=\sqrt[3]{{\displaystyle \frac{3\cdot \mathrm{1,90}\cdot {10}^{27}}{4\pi \cdot 1.330}}}$

$R=\mathrm{6,99}\cdot {10}^7\text{ m}$

Con él, la gravedad en la superficie:

$g_J=G{\displaystyle \frac{M}{R^2}}={\displaystyle \frac{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{1,90}\cdot {10}^{27}}{(\mathrm{6,99}\cdot {10}^7{)}^2}}=\mathrm{26,0}{\text{m/s}}^2$

La masa de la persona se obtiene de su peso en la Tierra:

$m={\displaystyle \frac{P_0}{g_0}}={\displaystyle \frac{700}{\mathrm{9,8}}}=\mathrm{71,4}\text{ kg}$

$P_J=m{g}_J=\mathrm{71,4}\cdot \mathrm{26,0}=\mathrm{1,85}\cdot {10}^3\text{ N}$

En la superficie de Júpiter esa persona pesaría $\mathrm{1,85}\cdot {10}^3\text{ N}$, unas dos veces y media su peso terrestre.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{ser}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{escape}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{cuerpo}}\mathbf{\text{situado}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{superficie?}}\mathbf{\text{(0,5}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Escapar significa llegar al infinito con velocidad nula, es decir, con energía mecánica cero:

${\displaystyle \frac{1}{2}}m{v}_{\text{esc}}^2-G{\displaystyle \frac{Mm}{R}}=0\Rightarrow v_{\text{esc}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{2GM}{R}}}$

$v_{\text{esc}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{2\cdot \mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{1,90}\cdot {10}^{27}}{\mathrm{6,99}\cdot {10}^7}}}=\mathrm{6,02}\cdot {10}^4\text{ m/s}$

La velocidad de escape desde la superficie de Júpiter es de $\mathrm{60,2}\text{ km/s}$, cinco veces la terrestre. Por eso Júpiter ha podido retener incluso el hidrógeno y el helio de su atmósfera.