Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2026

Se dispara verticalmente un proyectil desde la superficie de la Tierra con una velocidad cuyo módulo es la mitad de la velocidad de escape. Despreciando el rozamiento con la atmósfera, calcule la máxima altura sobre la superficie que alcanzará el proyectil. (1 punto)

Datos: $G=\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\text{ N}{\text{m}}^2{\text{kg}}^{-2}$; $M_{\text{T}}=\mathrm{5,98}\cdot {10}^{24}\text{ kg}$; $R_{\text{T}}=\mathrm{6,38}\cdot {10}^6\text{ m}$

La velocidad de escape es la mínima con la que hay que lanzar un cuerpo para que llegue al infinito con velocidad nula, y sale de igualar a cero la energía mecánica:

${\displaystyle \frac{1}{2}}m{v}_{\text{esc}}^2-G{\displaystyle \frac{M_{T}m}{R_T}}=0\Rightarrow v_{\text{esc}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{2G{M}_T}{R_T}}}$

$v_{\text{esc}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{2\cdot \mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{5,98}\cdot {10}^{24}}{\mathrm{6,38}\cdot {10}^6}}}=\mathrm{1,12}\cdot {10}^4\text{ m/s}$





El proyectil se dispara con la mitad de esa velocidad:

$v_0={\displaystyle \frac{v_{\text{esc}}}{2}}=\mathrm{5,59}\cdot {10}^3\text{ m/s}$

Como se desprecia el rozamiento, la única fuerza es la gravitatoria, que es conservativa, y la energía mecánica se conserva entre la superficie y el punto más alto, donde la velocidad es nula:

${\displaystyle \frac{1}{2}}m{v}_0^2-G{\displaystyle \frac{M_{T}m}{R_T}}=-G{\displaystyle \frac{M_{T}m}{R_T+h}}$

Conviene sustituir $v_0^2$ antes de operar, porque así se simplifica todo:

$v_0^2={\displaystyle \frac{v_{\text{esc}}^2}{4}}={\displaystyle \frac{1}{4}}\cdot {\displaystyle \frac{2G{M}_T}{R_T}}={\displaystyle \frac{G{M}_T}{2R_T}}$

${\displaystyle \frac{G{M}_T}{4R_T}}-{\displaystyle \frac{G{M}_T}{R_T}}=-{\displaystyle \frac{G{M}_T}{R_T+h}}$

Se simplifica $G{M}_T$ en los dos miembros:

$-{\displaystyle \frac{3}{4R_T}}=-{\displaystyle \frac{1}{R_T+h}}\Rightarrow R_T+h={\displaystyle \frac{4R_T}{3}}$

$h={\displaystyle \frac{4R_T}{3}}-R_T={\displaystyle \frac{R_T}{3}}={\displaystyle \frac{\mathrm{6,38}\cdot {10}^6}{3}}=\mathrm{2,13}\cdot {10}^6\text{ m}$

El proyectil se eleva $\mathrm{2,13}\cdot {10}^6\text{ m}$ sobre la superficie, es decir, una tercera parte del radio terrestre.