Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2025

El satélite artificial Swift se dedica al estudio de un fenómeno astrofísico conocido como explosiones de rayos gamma y describe una órbita circular a una altura de 290 km sobre la superficie terrestre.

a) Determine la velocidad orbital y el periodo de la órbita. (1 punto)
b) Determine el peso de un sensor de rayos X que lleva acoplado, cuya masa es de 150 kg. (1 punto)

Datos: $G=\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\text{ N}{\text{m}}^2{\text{kg}}^{-2}$; $M_{\text{T}}=\mathrm{5,98}\cdot {10}^{24}\text{ kg}$; $R_{\text{T}}=\mathrm{6,38}\cdot {10}^6\text{ m}$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{orbital}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{periodo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{rbita.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$










El radio de la órbita se mide desde el centro de la Tierra:

$r=R_T+h=\mathrm{6,38}\cdot {10}^6+\mathrm{2,90}\cdot {10}^5=\mathrm{6,67}\cdot {10}^6\text{ m}$

La única fuerza sobre el satélite es la gravitatoria, que hace de fuerza centrípeta. Por la segunda ley de Newton:

$G{\displaystyle \frac{M_{T}m}{r^2}}=m{\displaystyle \frac{v^2}{r}}$





Se simplifica la masa del satélite y se despeja la velocidad orbital:

$v=\sqrt{{\displaystyle \frac{G{M}_T}{r}}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{5,98}\cdot {10}^{24}}{\mathrm{6,67}\cdot {10}^6}}}=\mathrm{7,73}\cdot {10}^3\text{ m/s}$

El periodo sale del propio movimiento circular uniforme:

$T={\displaystyle \frac{2\pi r}{v}}={\displaystyle \frac{2\pi \cdot \mathrm{6,67}\cdot {10}^6}{\mathrm{7,73}\cdot {10}^3}}=\mathrm{5,42}\cdot {10}^3\text{ s}$

El Swift se mueve a 7,73 km/s y tarda unos 5420 s, es decir, poco más de hora y media, en dar una vuelta completa.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{peso}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{sensor}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{rayos}}\mathbf{\text{X}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{lleva}}\mathbf{\text{acoplado,}}\mathbf{\text{cuya}}\mathbf{\text{masa}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{150}}\mathbf{\text{kg.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

El peso es la fuerza con la que la Tierra atrae al sensor, y a esa altura la intensidad del campo gravitatorio vale:

$g=G{\displaystyle \frac{M_T}{r^2}}={\displaystyle \frac{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{5,98}\cdot {10}^{24}}{{(\mathrm{6,67}\cdot {10}^6)}^2}}=\mathrm{8,97}{\text{m/s}}^2$

$P=mg=150\cdot \mathrm{8,97}=\mathrm{1,35}\cdot {10}^3\text{ N}$

El sensor pesa unos 1350 N, apenas un 9 % menos que en la superficie: a 290 km de altura el campo gravitatorio sigue siendo casi el mismo. Otra cosa es que dentro del satélite el sensor no ejerza ninguna fuerza sobre su soporte, porque los dos caen con la misma aceleración; eso es la ingravidez aparente, y no significa que el peso sea nulo.