Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2024

Sabiendo que la masa de la Luna es 81 veces menor que la de la Tierra y que la gravedad en su superficie es 6 veces menor que la gravedad terrestre, determine la velocidad de escape desde la superficie lunar.

Datos: $g_0=\mathrm{9,80}\text{ m}{\text{s}}^{-2}$; $G=\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\text{ N}{\text{m}}^2{\text{kg}}^{-2}$; $M_{\text{T}}=\mathrm{5,98}\cdot {10}^{24}\text{ kg}$

La velocidad de escape desde la superficie de un astro se obtiene igualando a cero la energía mecánica del cuerpo lanzado:

${\displaystyle \frac{1}{2}}m{v}_{\text{esc}}^2-G{\displaystyle \frac{M_{L}m}{R_L}}=0\Rightarrow v_{\text{esc}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{2G{M}_L}{R_L}}}$

Los datos del enunciado son la masa y la gravedad de la Luna en función de las terrestres:

$M_L={\displaystyle \frac{M_T}{81}}={\displaystyle \frac{\mathrm{5,98}\cdot {10}^{24}}{81}}=\mathrm{7,38}\cdot {10}^{22}\text{ kg}$

$g_L={\displaystyle \frac{g_0}{6}}={\displaystyle \frac{\mathrm{9,80}}{6}}=\mathrm{1,63}{\text{m/s}}^2$

Falta el radio lunar, que se obtiene precisamente de la relación entre la masa y la gravedad superficial:

$g_L=G{\displaystyle \frac{M_L}{R_L^2}}\Rightarrow R_L=\sqrt{{\displaystyle \frac{G{M}_L}{g_L}}}$

$R_L=\sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{7,38}\cdot {10}^{22}}{\mathrm{1,63}}}}=\mathrm{1,74}\cdot {10}^6\text{ m}$

Con el radio ya se puede calcular la velocidad de escape. Conviene usar la forma $v_{\text{esc}}=\sqrt{2g_L{R}_L}$, equivalente a la anterior:

$v_{\text{esc}}=\sqrt{2\cdot \mathrm{1,63}\cdot \mathrm{1,74}\cdot {10}^6}=\mathrm{2,38}\cdot {10}^3\text{ m/s}$

La velocidad de escape desde la Luna es de unos 2,38 km/s, casi cinco veces menor que la terrestre. Es la razón por la que la Luna no ha conservado atmósfera.