Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2024

La masa de la Tierra es, aproximadamente, 81 veces la masa de la Luna y la distancia entre sus centros es $\mathrm{3,84}\cdot {10}^5\text{ km}$. Calcule la energía potencial de un meteorito de 400 kg situado en el punto medio del segmento que une los centros de la Tierra y la Luna.

Datos: $G=\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\text{ N}{\text{m}}^2{\text{kg}}^{-2}$; $M_{\text{T}}=\mathrm{5,98}\cdot {10}^{24}\text{ kg}$

La energía potencial gravitatoria de una masa sometida a varios cuerpos es la suma escalar de las energías debidas a cada uno:

$E_p=-G{\displaystyle \frac{M_{T}m}{r_T}}-G{\displaystyle \frac{M_{L}m}{r_L}}$

El meteorito está en el punto medio, de modo que las dos distancias son iguales y valen la mitad de la separación entre los centros:

$r_T=r_L={\displaystyle \frac{d}{2}}={\displaystyle \frac{\mathrm{3,84}\cdot {10}^8}{2}}=\mathrm{1,92}\cdot {10}^8\text{ m}$

La masa de la Luna se obtiene de la relación que da el enunciado:

$M_L={\displaystyle \frac{M_T}{81}}={\displaystyle \frac{\mathrm{5,98}\cdot {10}^{24}}{81}}=\mathrm{7,38}\cdot {10}^{22}\text{ kg}$

Al ser iguales las dos distancias, se puede sacar factor común:

$E_p=-{\displaystyle \frac{Gm}{d\mathrm{/}2}}(M_T+M_L)$

$E_p=-{\displaystyle \frac{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot 400}{\mathrm{1,92}\cdot {10}^8}}(\mathrm{5,98}\cdot {10}^{24}+\mathrm{7,38}\cdot {10}^{22})$

$E_p=-\mathrm{8,41}\cdot {10}^8\text{ J}$

La energía potencial del meteorito en ese punto es de $-\mathrm{8,41}\cdot {10}^8\text{ J}$. Es negativa, como siempre en el campo gravitatorio, y la aportación de la Luna apenas supone un 1 % del total: pese a estar a la misma distancia, su masa es 81 veces menor.