Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2023

Las distancias al Sol desde la Tierra y desde Marte son $\mathrm{1,466}\cdot {10}^8\text{ km}$ y $\mathrm{2,279}\cdot {10}^8\text{ km}$, respectivamente. Calcule la velocidad orbital de Marte y la masa del Sol. Periodo de traslación terrestre $T=365$ días.

Dato: $G=\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\text{ N}{\text{m}}^2{\text{kg}}^{-2}$

Los dos planetas describen órbitas alrededor del Sol, de modo que se les puede aplicar la tercera ley de Kepler: el cuadrado del periodo es proporcional al cubo del radio de la órbita.

${\displaystyle \frac{T_M^2}{T_T^2}}={\displaystyle \frac{r_M^3}{r_T^3}}$





Con el periodo terrestre en segundos:

$T_T=365\text{d}\acute{\text{ı}}\text{as}\cdot 86400{\displaystyle \frac{\text{s}}{\text{d}\acute{\text{ı}}\text{a}}}=\mathrm{3,15}\cdot {10}^7\text{ s}$

Se despeja el periodo de Marte:

$T_M=T_T{\left({\displaystyle \frac{r_M}{r_T}}\right)}^{3\mathrm{/}2}=\mathrm{3,15}\cdot {10}^7{\left({\displaystyle \frac{\mathrm{2,279}\cdot {10}^{11}}{\mathrm{1,466}\cdot {10}^{11}}}\right)}^{3\mathrm{/}2}$

$T_M=\mathrm{6,11}\cdot {10}^7\text{ s }\left(707\text{d}\acute{\text{ı}}\text{as}\right)$

Y con él, la velocidad orbital, que es la del movimiento circular uniforme:

$v_M={\displaystyle \frac{2\pi r_M}{T_M}}={\displaystyle \frac{2\pi \cdot \mathrm{2,279}\cdot {10}^{11}}{\mathrm{6,11}\cdot {10}^7}}=\mathrm{2,34}\cdot {10}^4\text{ m/s}$

Para la masa del Sol basta con imponer que la atracción gravitatoria sea la fuerza centrípeta de cualquiera de los dos planetas. Usando los datos de la Tierra:

$G{\displaystyle \frac{M_{S}m}{r_T^2}}=m{\displaystyle \frac{4{\pi }^2{r}_T}{T_T^2}}\Rightarrow M_S={\displaystyle \frac{4{\pi }^2{r}_T^3}{G{T}_T^2}}$

$M_S={\displaystyle \frac{4{\pi }^2{(\mathrm{1,466}\cdot {10}^{11})}^3}{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot {(\mathrm{3,15}\cdot {10}^7)}^2}}=\mathrm{1,88}\cdot {10}^{30}\text{ kg}$

Marte orbita a 23,4 km/s y la masa del Sol resulta ser de $\mathrm{1,88}\cdot {10}^{30}\text{ kg}$. Se obtiene el mismo valor partiendo de los datos de Marte, como tenía que ser: la constante de Kepler es la misma para todos los planetas del sistema.