Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2023

Un satélite artificial de 100 kg describe una órbita circular alrededor de la Tierra. La gravedad en un punto de su órbita es la mitad que la gravedad en la superficie terrestre. Determine el valor de su energía cinética y potencial.

Datos: $g_0=\mathrm{9,80}\text{ m}{\text{s}}^{-2}$; $G=\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\text{ N}{\text{m}}^2{\text{kg}}^{-2}$; $M_{\text{T}}=\mathrm{5,98}\cdot {10}^{24}\text{ kg}$; $R_{\text{T}}=\mathrm{6,37}\cdot {10}^6\text{ m}$

La intensidad del campo gravitatorio a una distancia $r$ del centro de la Tierra vale:

$g=G{\displaystyle \frac{M_T}{r^2}}$

y en la superficie, con $r=R_T$, se reduce a $g_0$. El enunciado impone que en la órbita valga la mitad:

$G{\displaystyle \frac{M_T}{r^2}}={\displaystyle \frac{1}{2}}G{\displaystyle \frac{M_T}{R_T^2}}$





Se simplifican $G$ y $M_T$ y se despeja el radio de la órbita:

$r^2=2R_T^2\Rightarrow r=R_T\sqrt{2}=\mathrm{6,37}\cdot {10}^6\cdot \sqrt{2}=\mathrm{9,01}\cdot {10}^6\text{ m}$

La energía potencial gravitatoria en ese punto es:

$E_p=-G{\displaystyle \frac{M_{T}m}{r}}=-{\displaystyle \frac{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{5,98}\cdot {10}^{24}\cdot 100}{\mathrm{9,01}\cdot {10}^6}}$

$E_p=-\mathrm{4,43}\cdot {10}^9\text{ J}$

Y en una órbita circular la energía cinética es siempre la mitad de la potencial cambiada de signo, porque la fuerza gravitatoria hace de centrípeta:

$G{\displaystyle \frac{M_{T}m}{r^2}}=m{\displaystyle \frac{v^2}{r}}\Rightarrow E_c={\displaystyle \frac{1}{2}}m{v}^2={\displaystyle \frac{1}{2}}G{\displaystyle \frac{M_{T}m}{r}}=-{\displaystyle \frac{E_p}{2}}$

$E_c=\mathrm{2,21}\cdot {10}^9\text{ J}$