Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2022

Calcule la densidad media de Júpiter sabiendo que su radio es $R_J=\mathrm{6,99}\cdot {10}^4\text{ km}$ y que su satélite Calisto describe una órbita de radio $r=\mathrm{1,88}\cdot {10}^6\text{ km}$ en 16,9 días.

Dato: $G=\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\text{ N}{\text{m}}^2{\text{kg}}^{-2}$

Calisto describe una órbita circular alrededor de Júpiter, así que la atracción gravitatoria hace de fuerza centrípeta:

$G{\displaystyle \frac{M_{J}m}{r^2}}=m{\displaystyle \frac{4{\pi }^{2}r}{T^2}}$

de donde sale la masa del planeta, que es lo que hace falta para la densidad:

$M_J={\displaystyle \frac{4{\pi }^2{r}^3}{G{T}^2}}$





Se pasan los datos a unidades del Sistema Internacional:

$r=\mathrm{1,88}\cdot {10}^6\text{ km}=\mathrm{1,88}\cdot {10}^9\text{ m}$

$T=\mathrm{16,9}\text{d}\acute{\text{ı}}\text{as}\cdot 86400{\displaystyle \frac{\text{s}}{\text{d}\acute{\text{ı}}\text{a}}}=\mathrm{1,46}\cdot {10}^6\text{ s}$

$M_J={\displaystyle \frac{4{\pi }^2{(\mathrm{1,88}\cdot {10}^9)}^3}{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot {(\mathrm{1,46}\cdot {10}^6)}^2}}=\mathrm{1,84}\cdot {10}^{27}\text{ kg}$

Con el radio de Júpiter se obtiene su volumen, suponiéndolo esférico:

$R_J=\mathrm{6,99}\cdot {10}^4\text{ km}=\mathrm{6,99}\cdot {10}^7\text{ m}$

$V={\displaystyle \frac{4}{3}}\pi R_J^3={\displaystyle \frac{4}{3}}\pi {(\mathrm{6,99}\cdot {10}^7)}^3=\mathrm{1,43}\cdot {10}^{24}{\text{m}}^3$

Y por fin la densidad media:

$\rho ={\displaystyle \frac{M_J}{V}}={\displaystyle \frac{\mathrm{1,84}\cdot {10}^{27}}{\mathrm{1,43}\cdot {10}^{24}}}=\mathrm{1,29}\cdot {10}^3{\text{kg/m}}^3$

La densidad media de Júpiter es de unos $\mathrm{1,29}\cdot {10}^3{\text{kg/m}}^3$, apenas superior a la del agua y cuatro veces menor que la de la Tierra: es un planeta gaseoso.