Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2022

Justifique si la siguiente afirmación es verdadera o falsa: «Si la masa de la Tierra se duplicara, el periodo orbital de la Luna también se duplicaría».

La afirmación es FALSA. Se comprueba con la tercera ley de Kepler, que sale de imponer que la atracción gravitatoria sea la fuerza centrípeta:

$G{\displaystyle \frac{M_T{m}_L}{r^2}}=m_L{\displaystyle \frac{4{\pi }^{2}r}{T^2}}$





Se simplifica la masa de la Luna, que no interviene, y se despeja el periodo:

$T=2\pi \sqrt{{\displaystyle \frac{r^3}{G{M}_T}}}$

El periodo es inversamente proporcional a la RAÍZ CUADRADA de la masa del planeta. Si la masa de la Tierra se duplicase manteniendo el radio de la órbita:

$T^{\mathrm{\prime }}=2\pi \sqrt{{\displaystyle \frac{r^3}{G\cdot 2M_T}}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}\cdot 2\pi \sqrt{{\displaystyle \frac{r^3}{G{M}_T}}}={\displaystyle \frac{T}{\sqrt{2}}}$

$T^{\mathrm{\prime }}=\mathrm{0,707}T$

El periodo no se duplicaría: se reduciría en un factor $\sqrt{2}$, quedando en el 71 % del actual. Tiene sentido físico, porque al aumentar la atracción la Luna tendría que moverse más deprisa para mantenerse en la misma órbita.