Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2021

Un objeto de masa $m={10}^4\text{ kg}$ se encuentra en una órbita circular a 30000 km de la superficie de la Tierra. ¿Qué energía será necesario aportarle para que pueda escapar de la gravedad terrestre?

Datos: $G=\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\text{ N}{\text{m}}^2{\text{kg}}^{-2}$; $M_{\text{T}}=\mathrm{5,98}\cdot {10}^{24}\text{ kg}$; $R_{\text{T}}=\mathrm{6,37}\cdot {10}^6\text{ m}$

Escapar de la gravedad terrestre significa llegar al infinito, donde la energía potencial es nula, con velocidad nula. Es decir, hay que llevar la energía mecánica del objeto hasta cero:

$E_{\text{final}}=0$

En la órbita circular, la energía mecánica vale la mitad de la potencial:

$E_{\acute{\text{o}}\text{rbita}}=-G{\displaystyle \frac{M_{T}m}{2r}}$





El radio de la órbita se mide desde el centro de la Tierra:

$r=R_T+h=\mathrm{6,37}\cdot {10}^6+\mathrm{3,00}\cdot {10}^7=\mathrm{3,637}\cdot {10}^7\text{ m}$

$E_{\acute{\text{o}}\text{rbita}}=-{\displaystyle \frac{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{5,98}\cdot {10}^{24}\cdot {10}^4}{2\cdot \mathrm{3,637}\cdot {10}^7}}=-\mathrm{5,48}\cdot {10}^{10}\text{ J}$

La energía que hay que aportar es la diferencia:

$\mathrm{\Delta }E=E_{\text{final}}-E_{\acute{\text{o}}\text{rbita}}=0-(-\mathrm{5,48}\cdot {10}^{10})$

$\mathrm{\Delta }E=\mathrm{5,48}\cdot {10}^{10}\text{ J}$

Hay que suministrarle $\mathrm{5,48}\cdot {10}^{10}\text{ J}$. Obsérvese que es exactamente el valor absoluto de la energía mecánica que tenía en la órbita: se llama energía de ligadura, y es lo que mide cuán atrapado está un cuerpo por el campo gravitatorio.