Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2020

Desde la superficie terrestre se lanza un objeto verticalmente hacia arriba. A una altura de 3630 km respecto a la superficie de la Tierra su velocidad es $2000\text{ m}{\text{s}}^{-1}$. Despreciando todo tipo de rozamiento, determine la velocidad con la que se lanzó.

Datos: $G=\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\text{ N}{\text{m}}^2{\text{kg}}^{-2}$; $M_{\text{T}}=\mathrm{5,98}\cdot {10}^{24}\text{ kg}$; $R_{\text{T}}=\mathrm{6,37}\cdot {10}^6\text{ m}$

Al despreciar el rozamiento, la única fuerza que actúa es la gravitatoria, que es conservativa: la energía mecánica se conserva entre la superficie y el punto de 3630 km de altura.

${\displaystyle \frac{1}{2}}m{v}_0^2-G{\displaystyle \frac{M_{T}m}{R_T}}={\displaystyle \frac{1}{2}}m{v}^2-G{\displaystyle \frac{M_{T}m}{r}}$





La distancia al centro de la Tierra en el punto alto es:

$r=R_T+h=\mathrm{6,37}\cdot {10}^6+\mathrm{3,63}\cdot {10}^6=\mathrm{1,00}\cdot {10}^7\text{ m}$

Se simplifica la masa del objeto y se despeja la velocidad de lanzamiento:

$v_0=\sqrt{v^2+2G{M}_T({\displaystyle \frac{1}{R_T}}-{\displaystyle \frac{1}{r}})}$

$v_0=\sqrt{{2000}^2+2\cdot \mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{5,98}\cdot {10}^{24}({\displaystyle \frac{1}{\mathrm{6,37}\cdot {10}^6}}-{\displaystyle \frac{1}{\mathrm{1,00}\cdot {10}^7}})}$

$v_0=\mathrm{7,03}\cdot {10}^3\text{ m/s}$

Hubo que lanzarlo a unos 7,03 km/s. Es bastante menos que la velocidad de escape, que vale 11,2 km/s, de modo que el objeto acabará volviendo a caer.