Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2021

Defina velocidad de escape de un cuerpo y deduzca su expresión a partir del principio de conservación de la energía mecánica.

La VELOCIDAD DE ESCAPE de un cuerpo es la velocidad mínima con la que hay que lanzarlo desde la superficie de un astro para que se aleje indefinidamente de él, sin llegar a caer de vuelta, y sin más ayuda que ese impulso inicial.





Para deducir su expresión se aplica la conservación de la energía mecánica. La única fuerza que actúa es la gravitatoria, que es conservativa, de modo que:

$E_M(\text{superficie})=E_M(\mathrm{\infty })$

En la superficie, el cuerpo de masa $m$ sale con la velocidad de escape y está a una distancia $R$ del centro:

$E_M(\text{superficie})={\displaystyle \frac{1}{2}}m{v}_{\text{esc}}^2-G{\displaystyle \frac{Mm}{R}}$

En el infinito hay que imponer la condición LÍMITE: llegar es suficiente, no hace falta llegar con velocidad sobrante. Además, la energía potencial es nula por el convenio de tomar el origen allí:

$E_c(\mathrm{\infty })=0E_p(\mathrm{\infty })=0\Rightarrow E_M(\mathrm{\infty })=0$

Igualando las dos:

${\displaystyle \frac{1}{2}}m{v}_{\text{esc}}^2-G{\displaystyle \frac{Mm}{R}}=0$

Se simplifica la masa del cuerpo, que no interviene, y se despeja:

${\displaystyle \frac{1}{2}}{v}_{\text{esc}}^2={\displaystyle \frac{GM}{R}}\Rightarrow v_{\text{esc}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{2GM}{R}}}$

Dos observaciones sobre el resultado. La primera, que no depende de la masa del cuerpo lanzado: escapar cuesta la misma velocidad a una canica que a un cohete. La segunda, que como $g_0=GM\mathrm{/}{R}^2$, la expresión puede escribirse también:

$v_{\text{esc}}=\sqrt{2g_{0}R}$

que es la forma más cómoda cuando se conoce la gravedad superficial en vez de la masa. Para la Tierra da unos 11,2 km/s.