Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2020

CHEOPS es un satélite de la Agencia Espacial Europea, de 300 kg de masa, que se encuentra orbitando a 700 km de altura sobre la superficie terrestre en una órbita aproximadamente circular. Calcule la energía requerida para que, desde la superficie de la Tierra, el satélite pasara a describir dicha órbita.

Datos: $G=\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\text{ N}{\text{m}}^2{\text{kg}}^{-2}$; $M_{\text{T}}=\mathrm{5,98}\cdot {10}^{24}\text{ kg}$; $R_{\text{T}}=\mathrm{6,37}\cdot {10}^6\text{ m}$

La energía requerida es la diferencia entre la energía mecánica del satélite en la órbita y la que tenía en reposo sobre la superficie.

En la órbita circular la energía mecánica vale la mitad de la potencial:

$E_{\acute{\text{o}}\text{rbita}}=-G{\displaystyle \frac{M_{T}m}{2r}}$





El radio de la órbita se mide desde el centro de la Tierra:

$r=R_T+h=\mathrm{6,37}\cdot {10}^6+\mathrm{7,00}\cdot {10}^5=\mathrm{7,07}\cdot {10}^6\text{ m}$

$E_{\acute{\text{o}}\text{rbita}}=-{\displaystyle \frac{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{5,98}\cdot {10}^{24}\cdot 300}{2\cdot \mathrm{7,07}\cdot {10}^6}}=-\mathrm{8,46}\cdot {10}^9\text{ J}$

En la superficie el satélite está en reposo, de modo que solo tiene energía potencial:

$E_{\text{superficie}}=-G{\displaystyle \frac{M_{T}m}{R_T}}=-{\displaystyle \frac{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{5,98}\cdot {10}^{24}\cdot 300}{\mathrm{6,37}\cdot {10}^6}}$

$E_{\text{superficie}}=-\mathrm{1,88}\cdot {10}^{10}\text{ J}$

La energía requerida es la diferencia:

$\mathrm{\Delta }E=E_{\acute{\text{o}}\text{rbita}}-E_{\text{superficie}}=-\mathrm{8,46}\cdot {10}^9+\mathrm{1,88}\cdot {10}^{10}$

$\mathrm{\Delta }E=\mathrm{1,03}\cdot {10}^{10}\text{ J}$

Hicieron falta unos $\mathrm{1,03}\cdot {10}^{10}\text{ J}$ para poner el CHEOPS en su órbita.