Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2023

En un cierto punto $A$ la intensidad de la gravedad es la mitad que en la superficie de la Tierra, mientras que en otro punto $B$ es la cuarta parte. Determine la distancia de ambos puntos al centro de la Tierra y la velocidad mínima que debe llevar un objeto en $A$ para poder alcanzar el punto $B$.

Datos: $g_0=\mathrm{9,80}\text{ m}{\text{s}}^{-2}$; $G=\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\text{ N}{\text{m}}^2{\text{kg}}^{-2}$; $M_{\text{T}}=\mathrm{5,98}\cdot {10}^{24}\text{ kg}$; $R_{\text{T}}=\mathrm{6,37}\cdot {10}^6\text{ m}$

La intensidad del campo gravitatorio a una distancia $r$ del centro de la Tierra es:

$g=G{\displaystyle \frac{M_T}{r^2}}$

y en la superficie, con $r=R_T$, vale $g_0$. Basta con imponer en cada punto la fracción que da el enunciado.





En el punto $A$, donde la gravedad es la mitad:

$G{\displaystyle \frac{M_T}{r_A^2}}={\displaystyle \frac{1}{2}}G{\displaystyle \frac{M_T}{R_T^2}}\Rightarrow r_A=R_T\sqrt{2}=\mathrm{9,01}\cdot {10}^6\text{ m}$

En el punto $B$, donde es la cuarta parte:

$G{\displaystyle \frac{M_T}{r_B^2}}={\displaystyle \frac{1}{4}}G{\displaystyle \frac{M_T}{R_T^2}}\Rightarrow r_B=2R_T=\mathrm{1,27}\cdot {10}^7\text{ m}$

La velocidad mínima en $A$ es la que deja al objeto llegando a $B$ con velocidad nula. Como la fuerza gravitatoria es conservativa, se conserva la energía mecánica:

${\displaystyle \frac{1}{2}}m{v}^2-G{\displaystyle \frac{M_{T}m}{r_A}}=0-G{\displaystyle \frac{M_{T}m}{r_B}}$

Se simplifica la masa del objeto y se despeja la velocidad:

$v=\sqrt{2G{M}_T({\displaystyle \frac{1}{r_A}}-{\displaystyle \frac{1}{r_B}})}$

$v=\sqrt{2\cdot \mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{5,98}\cdot {10}^{24}({\displaystyle \frac{1}{\mathrm{9,01}\cdot {10}^6}}-{\displaystyle \frac{1}{\mathrm{1,27}\cdot {10}^7}})}$

$v=\mathrm{5,09}\cdot {10}^3\text{ m/s}$

Hay que lanzarlo desde $A$ a $\mathrm{5,09}\text{ km/s}$ como mínimo.