Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2024

Deduzca la relación entre la energía cinética y la energía potencial de un satélite que describe una órbita circular alrededor de un planeta.

En una órbita circular la única fuerza sobre el satélite es la atracción gravitatoria del planeta, y esa fuerza es la que hace de fuerza centrípeta. Aplicando la segunda ley de Newton:

$G{\displaystyle \frac{Mm}{r^2}}=m{\displaystyle \frac{v^2}{r}}$





Se simplifica un factor $r$ en los dos miembros y se despeja el producto $m{v}^2$:

$m{v}^2=G{\displaystyle \frac{Mm}{r}}$

La energía cinética del satélite es la mitad de esa cantidad:

$E_c={\displaystyle \frac{1}{2}}m{v}^2={\displaystyle \frac{1}{2}}G{\displaystyle \frac{Mm}{r}}$

Y su energía potencial gravitatoria vale:

$E_p=-G{\displaystyle \frac{Mm}{r}}$

Comparando las dos expresiones se ve que solo se diferencian en el factor y en el signo:

$E_c=-{\displaystyle \frac{E_p}{2}}$

La energía cinética es siempre la mitad de la potencial cambiada de signo, sea cual sea el radio de la órbita. De ahí sale además la energía mecánica:

$E_M=E_c+E_p=-{\displaystyle \frac{E_p}{2}}+E_p={\displaystyle \frac{E_p}{2}}=-G{\displaystyle \frac{Mm}{2r}}$

que es negativa, como corresponde a un satélite ligado al planeta.