Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2021

Campo gravitatorio terrestre. Energía potencial en las proximidades de la superficie terrestre. (2,5 puntos)

$\mathbf{\text{Campo}}\mathbf{\text{gravitatorio}}\mathbf{\text{terrestre.}}\mathbf{\text{Energ}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{potencial}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{proximidades}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{superficie}}\mathbf{\text{terrestre.}}\mathbf{\text{(2,5}}\mathbf{\text{puntos)}}$










La Tierra crea a su alrededor un campo gravitatorio cuya intensidad en un punto es la fuerza que ejerce sobre la unidad de masa colocada en él:

$\vec{g}={\displaystyle \frac{\vec{F}}{m}}=-G{\displaystyle \frac{M_T}{r^2}}{\vec{u}}_r$





El signo menos indica que el campo apunta siempre hacia el centro de la Tierra: la interacción gravitatoria es exclusivamente atractiva. Se mide en $\text{N/kg}$, unidad equivalente a ${\text{m/s}}^2$, y en la superficie vale:

$g_0=G{\displaystyle \frac{M_T}{R_T^2}}=\mathrm{9,8}{\text{m/s}}^2$

El campo es central y conservativo, de modo que se le puede asociar una energía potencial. Tomando el origen en el infinito:

$E_p=-G{\displaystyle \frac{M_{T}m}{r}}$

$\mathbf{\text{Cerca}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{superficie}}$

Al elevar un cuerpo desde la superficie hasta una altura $h$, la energía potencial varía en:

$\mathrm{\Delta }{E}_p=-G{\displaystyle \frac{M_{T}m}{R_T+h}}+G{\displaystyle \frac{M_{T}m}{R_T}}=G{M}_{T}m{\displaystyle \frac{h}{R_T(R_T+h)}}$

Y si la altura es despreciable frente al radio terrestre, $h\ll R_T$, se puede aproximar $R_T+h\approx R_T$:

$\mathrm{\Delta }{E}_p\approx m\left(G{\displaystyle \frac{M_T}{R_T^2}}\right)h=m{g}_{0}h$

que es la expresión conocida. Sus dos limitaciones conviene tenerlas presentes: solo vale cerca de la superficie, donde $g_0$ puede considerarse constante, y no es una energía potencial absoluta sino una $\mathbf{\text{variaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}$, ya que implícitamente se ha tomado el origen de potenciales en la superficie y no en el infinito.

Para alturas comparables al radio terrestre —un satélite, una sonda— hay que volver a la expresión general, y de hecho es de ella de donde salen la velocidad de escape y la energía de las órbitas.