Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2026

El satélite Astra 2C, de masa 6000 kg, empleado para emitir señales de televisión, describe una órbita circular geoestacionaria.

a) Calcule la altura a la que orbita respecto a la superficie de la Tierra y la velocidad con la que se mueve. (1 punto)
b) Calcule la energía necesaria para llevar el Astra 2C desde la superficie de la Tierra hasta su órbita. (1 punto)

Datos: $G=\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\text{ N}{\text{m}}^2{\text{kg}}^{-2}$; $M_{\text{T}}=\mathrm{5,98}\cdot {10}^{24}\text{ kg}$; $R_{\text{T}}=\mathrm{6,38}\cdot {10}^6\text{ m}$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{altura}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{orbita}}\mathbf{\text{respecto}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{superficie}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{Tierra}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{mueve.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$










Que la órbita sea geoestacionaria significa que el satélite gira con el mismo periodo que la Tierra, de manera que se ve siempre sobre el mismo punto del ecuador:

$T=24\text{ h}\cdot 3600{\displaystyle \frac{\text{s}}{\text{h}}}=\mathrm{8,64}\cdot {10}^4\text{ s}$

La única fuerza sobre el satélite es la atracción gravitatoria, que hace de fuerza centrípeta. Por la segunda ley de Newton:

$G{\displaystyle \frac{M_{T}m}{r^2}}=m{\displaystyle \frac{v^2}{r}}$





Sustituyendo $v=2\pi r\mathrm{/}T$ y despejando el radio se obtiene la tercera ley de Kepler:

$G{\displaystyle \frac{M_T}{r^2}}={\displaystyle \frac{4{\pi }^{2}r}{T^2}}\Rightarrow r=\sqrt[3]{{\displaystyle \frac{G{M}_T{T}^2}{4{\pi }^2}}}$

$r=\sqrt[3]{{\displaystyle \frac{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{5,98}\cdot {10}^{24}\cdot {(\mathrm{8,64}\cdot {10}^4)}^2}{4{\pi }^2}}}=\mathrm{4,23}\cdot {10}^7\text{ m}$

La altura sobre la superficie es la diferencia entre el radio de la órbita y el radio terrestre:

$h=r-R_T=\mathrm{4,23}\cdot {10}^7-\mathrm{6,38}\cdot {10}^6=\mathrm{3,59}\cdot {10}^7\text{ m}$

Y la velocidad orbital, del propio movimiento circular uniforme:

$v={\displaystyle \frac{2\pi r}{T}}={\displaystyle \frac{2\pi \cdot \mathrm{4,23}\cdot {10}^7}{\mathrm{8,64}\cdot {10}^4}}=\mathrm{3,07}\cdot {10}^3\text{ m/s}$

El Astra 2C orbita a $\mathrm{3,59}\cdot {10}^7\text{ m}$ de altura, unos 35 900 km, y se mueve a $\mathrm{3,07}\text{ km/s}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{energ}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{necesaria}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{llevar}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{Astra}}\mathbf{\text{2C}}\mathbf{\text{desde}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{superficie}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{Tierra}}\mathbf{\text{hasta}}\mathbf{\text{su}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{rbita.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

La energía que hay que aportar es la diferencia entre la energía mecánica que tiene el satélite en la órbita y la que tenía en la superficie.

En la órbita circular la energía mecánica es la mitad de la potencial:

$E_{\acute{\text{o}}\text{rbita}}={\displaystyle \frac{1}{2}}m{v}^2-G{\displaystyle \frac{M_{T}m}{r}}=-G{\displaystyle \frac{M_{T}m}{2r}}$

$E_{\acute{\text{o}}\text{rbita}}=-{\displaystyle \frac{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{5,98}\cdot {10}^{24}\cdot 6000}{2\cdot \mathrm{4,23}\cdot {10}^7}}=-\mathrm{2,83}\cdot {10}^{10}\text{ J}$

En la superficie el satélite está en reposo, de modo que solo tiene energía potencial:

$E_{\text{superficie}}=-G{\displaystyle \frac{M_{T}m}{R_T}}=-{\displaystyle \frac{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{5,98}\cdot {10}^{24}\cdot 6000}{\mathrm{6,38}\cdot {10}^6}}=-\mathrm{3,75}\cdot {10}^{11}\text{ J}$

Por tanto, la energía que hay que suministrar es:

$\mathrm{\Delta }E=E_{\acute{\text{o}}\text{rbita}}-E_{\text{superficie}}=-\mathrm{2,83}\cdot {10}^{10}+\mathrm{3,75}\cdot {10}^{11}=\mathrm{3,47}\cdot {10}^{11}\text{ J}$

Hacen falta $\mathrm{3,47}\cdot {10}^{11}\text{ J}$ para colocar el satélite en su órbita.