Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2022

Dadas dos masas puntuales iguales y de 10 kg están situadas en los puntos $(0,\sqrt{3})m$ y $(0,-\sqrt{3})m$ respectivamente.

a) Hallar el campo gravitatorio y el potencial gravitatorio que crean ambas masas en el punto $P(1,0)m$. (1 punto)
b) Calcular el trabajo realizado por el campo para mover una partícula de 3 kg del punto P al punto $Q(2,0)m$. (1 punto)
c) Explica el significado del signo del trabajo obtenido en el apartado anterior. (0,5 puntos)

Datos: $G=\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\text{ N}{\text{m}}^2{\text{kg}}^{-2}$

El campo gravitatorio creado por una masa puntual apunta siempre hacia ella:

$\vec{g}=-G{\displaystyle \frac{m}{r^2}}{\vec{u}}_r$

El punto $P$ equidista de las dos masas:

$r=\sqrt{1^2+(\sqrt{3}{)}^2}=\sqrt{4}=2\text{ m}$





El módulo del campo que crea cada masa es el mismo:

$g_1=g_2=G{\displaystyle \frac{m}{r^2}}={\displaystyle \frac{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot 10}{2^2}}=\mathrm{1,67}\cdot {10}^{-10}\text{ N/kg}$

Cada uno apunta desde $P$ hacia su masa, es decir, según los unitarios:

${\vec{u}}_1={\displaystyle \frac{(0,\sqrt{3})-(1,0)}{2}}=(-{\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}})$

${\vec{u}}_2={\displaystyle \frac{(0,-\sqrt{3})-(1,0)}{2}}=(-{\displaystyle \frac{1}{2}},-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}})$

Por el principio de superposición, las componentes verticales se cancelan y solo quedan las horizontales:

$\vec{g}=2\cdot \mathrm{1,67}\cdot {10}^{-10}\cdot (-{\displaystyle \frac{1}{2}})\vec{\mathrm{ı}}=-\mathrm{1,67}\cdot {10}^{-10}\vec{\mathrm{ı}}\text{ N/kg}$

El potencial es escalar y se suma directamente:

$V_P=-G{\displaystyle \frac{m}{r}}-G{\displaystyle \frac{m}{r}}=-{\displaystyle \frac{2\cdot \mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot 10}{2}}=-\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-10}\text{ J/kg}$

En $P$ el campo vale $\mathrm{1,67}\cdot {10}^{-10}\text{ N/kg}$ y apunta hacia el origen, y el potencial es de $-\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-10}\text{ J/kg}$.



El campo gravitatorio es conservativo, así que el trabajo no depende del camino:

$W=m(V_P-V_Q)$

En $Q$ la distancia a cada masa es:

$r^{\mathrm{\prime }}=\sqrt{2^2+3}=\sqrt{7}=\mathrm{2,65}\text{ m}$

$V_Q=-{\displaystyle \frac{2\cdot \mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot 10}{\mathrm{2,65}}}=-\mathrm{5,04}\cdot {10}^{-10}\text{ J/kg}$

$W=3(-\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-10}+\mathrm{5,04}\cdot {10}^{-10})$

$W=-\mathrm{4,88}\cdot {10}^{-10}\text{ J}$

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Explica}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{significado}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{signo}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{trabajo}}\mathbf{\text{obtenido}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{apartado}}\mathbf{\text{anterior.}}\mathbf{\text{(0,5}}\mathbf{\text{puntos)}}$

El trabajo del campo sale negativo porque la fuerza gravitatoria es atractiva y el desplazamiento de $P$ a $Q$ aleja la partícula de las dos masas: fuerza y desplazamiento forman un ángulo mayor de ${90}^{\circ }$ y el campo se opone al movimiento.

Dicho de otro modo, ese desplazamiento no es espontáneo. Para llevar la partícula desde $P$ hasta $Q$ hay que aportar desde fuera un trabajo de $\mathrm{4,88}\cdot {10}^{-10}\text{ J}$, que queda almacenado como energía potencial del sistema.