Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2022

Saturno tiene una masa aproximadamente 95 veces mayor que la masa de la Tierra y un radio de 9 veces mayor que el radio de la Tierra. Sabiendo que en la superficie de la Tierra la aceleración de la gravedad es $g_o=\mathrm{9,8}{\text{m/s}}^2$,

a) ¿Cuánto pesará en Saturno una persona de 80 kg de masa? (1,25 puntos)
b) El mayor satélite de Saturno es Titán, que tiene una órbita cuyo radio medio es $\mathrm{1,22}\cdot {10}^6\text{ km}$ y un periodo de 15,9 días. Hallar la masa de Saturno ($G=\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\text{ N}{\text{m}}^2{\text{kg}}^{-2}$). (1,25 puntos)

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{nto}}\mathbf{\text{pesar}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{Saturno}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{persona}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{80}}\mathbf{\text{kg}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{masa?}}\mathbf{\text{(1,25}}\mathbf{\text{puntos)}}$










La intensidad del campo gravitatorio en la superficie de un planeta es:

$g=G{\displaystyle \frac{M}{R^2}}$

Dividiendo la de Saturno entre la de la Tierra desaparece la constante de gravitación:

${\displaystyle \frac{g_S}{g_0}}={\displaystyle \frac{M_S}{M_T}}{\left({\displaystyle \frac{R_T}{R_S}}\right)}^2$





Con los datos del enunciado, $M_S=95M_T$ y $R_S=9R_T$:

${\displaystyle \frac{g_S}{g_0}}=95\cdot {\displaystyle \frac{1}{81}}=\mathrm{1,173}$

$g_S=\mathrm{1,173}\cdot \mathrm{9,8}=\mathrm{11,5}{\text{m/s}}^2$

Y el peso de la persona:

$P=m{g}_S=80\cdot \mathrm{11,5}=\mathrm{9,20}\cdot {10}^2\text{ N}$

En Saturno esa persona pesaría $\mathrm{9,20}\cdot {10}^2\text{ N}$, un 17 % más que en la Tierra, donde pesa 784 N. Pese a ser un planeta noventa y cinco veces más masivo, su enorme radio compensa casi por completo el efecto.



La atracción de Saturno hace de fuerza centrípeta sobre Titán, que describe un movimiento circular uniforme:

$G{\displaystyle \frac{M_{S}m}{r^2}}=m{\displaystyle \frac{4{\pi }^{2}r}{T^2}}\Rightarrow M_S={\displaystyle \frac{4{\pi }^2{r}^3}{G{T}^2}}$

Es la tercera ley de Kepler, y obsérvese que la masa del satélite se simplifica: no hace falta conocerla.

Se pasan el radio y el periodo a unidades del Sistema Internacional:

$r=\mathrm{1,22}\cdot {10}^6\text{ km}=\mathrm{1,22}\cdot {10}^9\text{ m}$

$T=\mathrm{15,9}\text{d}\acute{\text{ı}}\text{as}\cdot 86.400{\displaystyle \frac{\text{s}}{\text{d}\acute{\text{ı}}\text{a}}}=\mathrm{1,374}\cdot {10}^6\text{ s}$

$M_S={\displaystyle \frac{4{\pi }^2\cdot (\mathrm{1,22}\cdot {10}^9{)}^3}{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot (\mathrm{1,374}\cdot {10}^6{)}^2}}$

$M_S=\mathrm{5,69}\cdot {10}^{26}\text{ kg}$

La masa de Saturno es de $\mathrm{5,69}\cdot {10}^{26}\text{ kg}$, en efecto unas noventa y cinco veces la de la Tierra.