Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Navarra · 2023

Queremos describir el movimiento de las olas del mar, que suponemos perfectamente armónicas. Para ello nos situamos en una boya (que tomamos como origen) a 60 m de la orilla y vemos cómo se alejan. Observamos que la boya vibra de forma armónica con una frecuencia de 0,5 Hz y que las olas tardan 0,5 minutos en llegar a la orilla desde la boya. La velocidad máxima de vibración de la boya es de $\pi$ m/s y en el instante inicial (cuando comenzamos las mediciones) la boya está en el punto medio de su movimiento y con una velocidad negativa.

a) ¿Cuántas olas llegan a la orilla por minuto? (0,5 puntos)
b) ¿Cuál es la amplitud, la velocidad de propagación de las ondas y la longitud de onda? (1 punto)
c) Obtener la expresión matemática de la onda. (1 punto)

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntas}}\mathbf{\text{olas}}\mathbf{\text{llegan}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{orilla}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{minuto?}}\mathbf{\text{(0,5}}\mathbf{\text{puntos)}}$



La frecuencia es el número de oscilaciones completas por segundo, y coincide con el número de olas que pasan por un punto en ese tiempo:

$f=\mathrm{0,5}\text{ Hz}$

En un minuto llegan, por tanto:

$n=f\cdot 60=\mathrm{0,5}\cdot 60=30\text{ olas}$

Llegan $30$ olas por minuto, una cada dos segundos.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{amplitud,}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{propagaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{ondas}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{longitud}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{onda?}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

La velocidad máxima de vibración de la boya es la de su movimiento armónico simple:

$v_{\max }=A\omega \omega =2\pi f=2\pi \cdot \mathrm{0,5}=\pi \text{ rad/s}$

$A={\displaystyle \frac{v_{\max }}{\omega }}={\displaystyle \frac{\pi }{\pi }}=1\text{ m}$

La velocidad de propagación sale del recorrido de la ola hasta la orilla, pasando el tiempo a segundos:

$t=\mathrm{0,5}\text{ min}=30\text{ s}$

$v={\displaystyle \frac{60}{30}}=2\text{ m/s}$

$\lambda ={\displaystyle \frac{v}{f}}={\displaystyle \frac{2}{\mathrm{0,5}}}=4\text{ m}$

La amplitud es de $1\text{ m}$, las olas avanzan a $2\text{ m/s}$ y su longitud de onda es de $4\text{ m}$.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Obtener}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{expresi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{matem}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{tica}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{onda.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

Se toma la boya como origen y el sentido positivo del eje X hacia la orilla, que es hacia donde avanzan las olas:

$y(x,t)=A\mathrm{sen}(\omega t-kx+{\phi }_0)$

$k={\displaystyle \frac{2\pi }{\lambda }}={\displaystyle \frac{2\pi }{4}}={\displaystyle \frac{\pi }{2}}\text{ rad/m}$

La fase inicial la fijan las dos condiciones del enunciado. Que la boya esté en el punto medio de su movimiento significa elongación nula:

$y(0,0)=\mathrm{sen}{\phi }_0=0\Rightarrow {\phi }_0=0\text{o}{\phi }_0=\pi$

Y que su velocidad sea negativa decide entre ambas:

$v_y(0,0)=A\omega \cos {\phi }_0<0\Rightarrow \cos {\phi }_0<0\Rightarrow {\phi }_0=\pi \text{ rad}$

$y(x,t)=1\cdot \mathrm{sen}(\pi t-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}x+\pi )\text{ m}$