Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2023

Calcular la masa de un pequeño cuerpo celeste (supongamos que se trata de una esfera maciza) sabiendo que posee un satélite que orbita, en una órbita circular, en torno a él con un radio de 500 km y un periodo de 20 días. (1 punto)

El cuerpo celeste tiene una densidad de $5.500\text{ kg}\mathrm{/}{\text{m}}^3$. ¿A qué altura, respecto a su superficie, habría que elevar un objeto en ese cuerpo celeste para que su peso se reduzca un 10 %? (1,5 puntos)

Datos: $G=\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\text{ N}{\text{m}}^2\mathrm{/}{\text{kg}}^2$

$\mathbf{\text{Calcular}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{masa}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{peque}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{cuerpo}}\mathbf{\text{celeste}}\mathbf{\text{(supongamos}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{trata}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{esfera}}\mathbf{\text{maciza)}}\mathbf{\text{sabiendo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{posee}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{sat}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{lite}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{orbita,}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{una}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{rbita}}\mathbf{\text{circular,}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{torno}}\mathbf{\text{a}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{radio}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{500}}\mathbf{\text{km}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{periodo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{20}}\mathbf{\text{d}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{as.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$










La atracción gravitatoria del cuerpo celeste hace de fuerza centrípeta sobre su satélite, que describe un movimiento circular uniforme:

$G{\displaystyle \frac{Mm}{r^2}}=m{\displaystyle \frac{4{\pi }^{2}r}{T^2}}$

Despejando la masa se obtiene la tercera ley de Kepler:

$M={\displaystyle \frac{4{\pi }^2{r}^3}{G{T}^2}}$





Se pasan el radio y el periodo a unidades del Sistema Internacional:

$r=500\text{ km}=5\cdot {10}^5\text{ m}$

$T=20\text{d}\acute{\text{ı}}\text{as}\cdot 86.400{\displaystyle \frac{\text{s}}{\text{d}\acute{\text{ı}}\text{a}}}=\mathrm{1,728}\cdot {10}^6\text{ s}$

$M={\displaystyle \frac{4{\pi }^2\cdot (5\cdot {10}^5{)}^3}{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot (\mathrm{1,728}\cdot {10}^6{)}^2}}=\mathrm{2,48}\cdot {10}^{16}\text{ kg}$

La masa del cuerpo celeste es de $\mathrm{2,48}\cdot {10}^{16}\text{ kg}$, del orden de la de un asteroide pequeño.



Primero hace falta el radio del cuerpo, que sale de la densidad suponiéndolo una esfera maciza:

$\rho ={\displaystyle \frac{M}{V}}={\displaystyle \frac{M}{\frac{4}{3}\pi R^3}}\Rightarrow R=\sqrt[3]{{\displaystyle \frac{3M}{4\pi \rho }}}$

$R=\sqrt[3]{{\displaystyle \frac{3\cdot \mathrm{2,48}\cdot {10}^{16}}{4\pi \cdot 5.500}}}=\mathrm{1,02}\cdot {10}^4\text{ m}$

El cuerpo tiene apenas diez kilómetros de radio.

El peso es proporcional a la intensidad del campo gravitatorio, que cae con el cuadrado de la distancia al centro:

${\displaystyle \frac{P}{P_0}}={\displaystyle \frac{g}{g_0}}={\displaystyle \frac{R^2}{(R+h{)}^2}}=\mathrm{0,9}$

$R+h={\displaystyle \frac{R}{\sqrt{\mathrm{0,9}}}}\Rightarrow h=R({\displaystyle \frac{1}{\sqrt{\mathrm{0,9}}}}-1)$

$h=\mathrm{1,02}\cdot {10}^4\cdot \mathrm{0,0541}=554\text{ m}$

Basta con subir el objeto $554\text{ m}$ sobre la superficie. En un cuerpo tan pequeño la gravedad varía muchísimo en distancias que en la Tierra serían irrelevantes: aquí haría falta subir más de 300 km para el mismo efecto.