Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2023

Un satélite de 400 kg orbita a una distancia de $4\cdot {10}^6\text{ m}$ de la superficie terrestre en una órbita circular. Hallar:

a) Velocidad del satélite. (0,5 puntos)
b) Energía mecánica del satélite. (1 punto)
c) Debido a rozamientos, el satélite pasa a una órbita menor de valor $3\cdot {10}^6\text{ m}$ de la superficie terrestre. Hallar el porcentaje en el que varía su velocidad y su energía, indicando si aumenta o disminuye. (1 punto)

Datos: $R_{\text{Tierra}}=6.370\text{ km}$; $M_{\text{Tierra}}=\mathrm{5,97}\cdot {10}^{24}\text{ kg}$; $G=\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\text{ N}{\text{m}}^2\mathrm{/}{\text{kg}}^2$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Velocidad}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{sat}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{lite.}}\mathbf{\text{(0,5}}\mathbf{\text{puntos)}}$










La atracción gravitatoria terrestre es la única fuerza sobre el satélite y hace de fuerza centrípeta:

$G{\displaystyle \frac{M_{T}m}{r^2}}=m{\displaystyle \frac{v^2}{r}}\Rightarrow v=\sqrt{{\displaystyle \frac{G{M}_T}{r}}}$

El radio de la órbita se mide desde el centro de la Tierra, así que hay que sumar el radio terrestre.





$r=R_T+h=\mathrm{6,37}\cdot {10}^6+4\cdot {10}^6=\mathrm{1,037}\cdot {10}^7\text{ m}$

$v=\sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{5,97}\cdot {10}^{24}}{\mathrm{1,037}\cdot {10}^7}}}=\mathrm{6,20}\cdot {10}^3\text{ m/s}$

El satélite orbita a $\mathrm{6,20}\text{ km/s}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Energ}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{mec}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{nica}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{sat}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{lite.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

En una órbita circular la energía cinética es la mitad del valor absoluto de la potencial, de modo que:

$E=E_c+E_p=-G{\displaystyle \frac{M_{T}m}{2r}}$

$E=-{\displaystyle \frac{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{5,97}\cdot {10}^{24}\cdot 400}{2\cdot \mathrm{1,037}\cdot {10}^7}}=-\mathrm{7,68}\cdot {10}^9\text{ J}$

La energía mecánica del satélite es de $-\mathrm{7,68}\cdot {10}^9\text{ J}$.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Debido}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{rozamientos,}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sat}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{lite}}\mathbf{\text{pasa}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{una}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{rbita}}\mathbf{\text{menor}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{valor}}\mathrm{<mrow><mn\; mathvariant="bold">3</mn><mo\; mathvariant="bold-italic">\cdot </mo><msup><mn\; mathvariant="bold">10</mn><mn\; mathvariant="bold">6</mn></msup><mtext> m</mtext></mrow>}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{superficie}}\mathbf{\text{terrestre.}}\mathbf{\text{Hallar}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{porcentaje}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{var}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{energ}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a,}}\mathbf{\text{indicando}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{aumenta}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{disminuye.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

El nuevo radio orbital es:

$r^{\mathrm{\prime }}=\mathrm{6,37}\cdot {10}^6+3\cdot {10}^6=\mathrm{9,37}\cdot {10}^6\text{ m}$

$v^{\mathrm{\prime }}=\sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{5,97}\cdot {10}^{24}}{\mathrm{9,37}\cdot {10}^6}}}=\mathrm{6,52}\cdot {10}^3\text{ m/s}$

${\displaystyle \frac{v^{\mathrm{\prime }}-v}{v}}\cdot 100={\displaystyle \frac{\mathrm{6,52}\cdot {10}^3-\mathrm{6,20}\cdot {10}^3}{\mathrm{6,20}\cdot {10}^3}}\cdot 100=+\mathrm{5,20}\mathrm{\%}$

La velocidad $\mathbf{\text{aumenta}}$ un $\mathrm{5,20}\mathrm{\%}$.

$E^{\mathrm{\prime }}=-{\displaystyle \frac{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{5,97}\cdot {10}^{24}\cdot 400}{2\cdot \mathrm{9,37}\cdot {10}^6}}=-\mathrm{8,50}\cdot {10}^9\text{ J}$

${\displaystyle \frac{E^{\mathrm{\prime }}-E}{\mathrm{\mid }E\mathrm{\mid }}}\cdot 100={\displaystyle \frac{-\mathrm{8,50}\cdot {10}^9+\mathrm{7,68}\cdot {10}^9}{\mathrm{7,68}\cdot {10}^9}}\cdot 100=-\mathrm{10,7}\mathrm{\%}$

La energía mecánica $\mathbf{\text{disminuye}}$ un $\mathrm{10,7}\mathrm{\%}$, es decir, se hace más negativa.

Puede parecer contradictorio que el rozamiento acelere el satélite, pero es lo que ocurre en una órbita: al perder energía el satélite baja, y al bajar la energía potencial disminuye más de lo que aumenta la cinética. Es la llamada paradoja del satélite.