Ejercicio resuelto de Cálculo de las constantes Ka y Kb · Química

La disolución resultante de disolver en agua $270\text{ mg}$ de ácido cianhídrico, $\text{HCN}$, hasta alcanzar un volumen final de disolución de $50\text{ mL}$ presenta un $\text{pH}=\mathrm{4,92}$ a 25 °C. Calcule el valor del grado de ionización y de la constante $K_{\text{a}}$ del ácido en la disolución acuosa a 25 °C.

Datos: masas atómicas: $\text{C}=12\text{ u}$; $\text{N}=14\text{ u}$; $\text{H}=1\text{ u}$.

Hay que calcular dos cosas, el grado de ionización y la constante de acidez, y las dos salen del mismo punto de partida: la concentración inicial del ácido y la de protones en el equilibrio.

La concentración inicial, a partir de la masa disuelta:

$M(\mathrm{H}\mathrm{C}\mathrm{N})=1+12+14=27\mathrm{g}\mathrm{m}\mathrm{o}{\mathrm{l}}^{-1}$

$n=\frac{270\cdot {10}^{-3}}{27}=\mathrm{1,0}\cdot {10}^{-2}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{l}$

$c_0=\frac{\mathrm{1,0}\cdot {10}^{-2}}{50\cdot {10}^{-3}}=\mathrm{0,20}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{l}{\mathrm{L}}^{-1}$

Y la concentración de protones, del pH:

$[{\mathrm{H}}_3{\mathrm{O}}^{+}]={10}^{-\mathrm{p}\mathrm{H}}={10}^{-\mathrm{4,92}}=\mathrm{1,20}\cdot {10}^{-5}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{l}{\mathrm{L}}^{-1}$

El grado de ionización es la fracción del ácido que se ha disociado, y como cada molécula que se disocia libera un protón:

$\alpha =\frac{[{\mathrm{H}}_3{\mathrm{O}}^{+}]}{c_0}=\frac{\mathrm{1,20}\cdot {10}^{-5}}{\mathrm{0,20}}$

$\alpha =\mathrm{6,0}\cdot {10}^{-5}$

Es decir, solo se ha ionizado el 0,006 % del ácido cianhídrico: es un ácido extraordinariamente débil.

Para la constante hacen falta las tres concentraciones del equilibrio. Por cada protón formado aparece un cianuro y desaparece una molécula de $\mathrm{H}\mathrm{C}\mathrm{N}$:

$\mathrm{H}\mathrm{C}\mathrm{N}+{\mathrm{H}}_2\mathrm{O}\rightleftharpoons \mathrm{C}{\mathrm{N}}^{-}+{\mathrm{H}}_3{\mathrm{O}}^{+}$

$[\mathrm{C}{\mathrm{N}}^{-}]=[{\mathrm{H}}_3{\mathrm{O}}^{+}]=\mathrm{1,20}\cdot {10}^{-5}\mathrm{M}$

$[\mathrm{H}\mathrm{C}\mathrm{N}]=c_0(1-\alpha )=\mathrm{0,20}\cdot (1-\mathrm{6,0}\cdot {10}^{-5})\approx \mathrm{0,20}\mathrm{M}$

Aquí sí es lícito aproximar, y de sobra: lo disociado es una parte en veinte mil de lo que había.

$K_{\mathrm{a}}=\frac{[\mathrm{C}{\mathrm{N}}^{-}][{\mathrm{H}}_3{\mathrm{O}}^{+}]}{[\mathrm{H}\mathrm{C}\mathrm{N}]}=\frac{(\mathrm{1,20}\cdot {10}^{-5}{)}^2}{\mathrm{0,20}}=\frac{\mathrm{1,45}\cdot {10}^{-10}}{\mathrm{0,20}}$

$K_{\mathrm{a}}=\mathrm{7,2}\cdot {10}^{-10}$

La constante confirma lo que decía el grado de ionización. Su consecuencia práctica es notable: el anión cianuro es, correspondientemente, una base bastante fuerte, y por eso las sales de cianuro dan disoluciones muy básicas y desprenden $\mathrm{H}\mathrm{C}\mathrm{N}$ en cuanto se acidulan.