Ejercicio resuelto de Campo magnético · Física · Asturias · 2020

Un electrón se mueve con velocidad constante $v_0=\mathrm{1,41}\cdot {10}^6\text{ m}\mathrm{/}\text{s}$ a lo largo del eje $+y$. Calcule:

a) El módulo, la dirección y el sentido del campo magnético que habría que aplicar para que el electrón describiera una trayectoria circular de diámetro 10 cm en sentido horario. [1 punto]

b) El módulo, la dirección y el sentido de la fuerza que actúa sobre el electrón. [0,75 puntos]

c) El radio de la trayectoria y el sentido de giro de un protón bajo la acción del mismo campo magnético. [0,75 puntos]

Datos: $\mathrm{\mid }{q}_e\mathrm{\mid }=\mathrm{1,6}\cdot {10}^{-19}\text{ C}$; $m_e=\mathrm{9,1}\cdot {10}^{-31}\text{ kg}$; $m_p=\mathrm{1,7}\cdot {10}^{-27}\text{ kg}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{dulo,}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{direcci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sentido}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{campo}}\mathbf{\text{magn}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{tico}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{habr}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{aplicar}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{electr}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{describiera}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{trayectoria}}\mathbf{\text{circular}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{di}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{metro}}\mathbf{\text{10}}\mathbf{\text{cm}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{sentido}}\mathbf{\text{horario.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$










La fuerza magnética sobre una carga en movimiento, $\vec{F}=q(\vec{v}\times \vec{B})$, es siempre perpendicular a la velocidad: no realiza trabajo, no cambia el módulo de la velocidad y hace de fuerza centrípeta. La trayectoria es, por tanto, una circunferencia.

Aplicando la segunda ley de Newton con el campo perpendicular a la velocidad:

$\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }vB=\frac{m{v}^2}{R}\Rightarrow B=\frac{mv}{\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }R}$





El radio es la mitad del diámetro, $R=\mathrm{0,05}\text{ m}$:

$B=\frac{\mathrm{9,1}\cdot {10}^{-31}\cdot \mathrm{1,41}\cdot {10}^6}{\mathrm{1,6}\cdot {10}^{-19}\cdot \mathrm{0,05}}$

$B=\mathrm{1,60}\cdot {10}^{-4}\text{ T}$

Para la dirección y el sentido hay que imponer que el giro sea horario. El electrón se mueve según el eje $+y$, así que para curvarse en sentido horario la fuerza debe apuntar inicialmente hacia el eje $+x$. Como la carga es negativa:

$\vec{F}=-\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }(\vec{v}\times \vec{B})=+\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }vB\vec{\mathrm{ı}}\Rightarrow \vec{v}\times \vec{B}=-vB\vec{\mathrm{ı}}$

y con $\vec{v}=v\vec{\mathrm{ȷ}}$ eso exige $\vec{B}=-B\vec{k}$, porque $\vec{\mathrm{ȷ}}\times (-\vec{k})=-\vec{\mathrm{ı}}$.

El campo tiene módulo $\mathrm{1,60}\cdot {10}^{-4}\text{ T}$, dirección la del eje $Z$ y sentido negativo, es decir, entrante en el plano del dibujo.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{dulo,}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{direcci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sentido}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{fuerza}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{act}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{sobre}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{electr}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Al ser la fuerza magnética la fuerza centrípeta, su módulo se obtiene directamente:

$F=\frac{m{v}^2}{R}=\frac{\mathrm{9,1}\cdot {10}^{-31}\cdot (\mathrm{1,41}\cdot {10}^6{)}^2}{\mathrm{0,05}}$

$F=\mathrm{3,62}\cdot {10}^{-17}\text{ N}$

El mismo valor se obtiene de la expresión de la fuerza de Lorentz:

$F=\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }vB=\mathrm{1,6}\cdot {10}^{-19}\cdot \mathrm{1,41}\cdot {10}^6\cdot \mathrm{1,60}\cdot {10}^{-4}=\mathrm{3,62}\cdot {10}^{-17}\text{ N}$

La fuerza es perpendicular a la velocidad en todo momento y apunta siempre hacia el centro de la circunferencia; en el instante inicial, con el electrón moviéndose según $+y$, va en el sentido del eje $+x$.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{radio}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{trayectoria}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sentido}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{giro}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{prot}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{bajo}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{acci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{mismo}}\mathbf{\text{campo}}\mathbf{\text{magn}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{tico.}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Con la misma velocidad y el mismo campo, el radio es proporcional a la masa de la partícula:

$R=\frac{mv}{\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }B}\Rightarrow \frac{R_{p^{+}}}{R_{e^{-}}}=\frac{m_{p^{+}}}{m_{e^{-}}}=\frac{\mathrm{1,7}\cdot {10}^{-27}}{\mathrm{9,1}\cdot {10}^{-31}}=1868$

$R_{p^{+}}=1868\cdot \mathrm{0,05}$

$R_{p^{+}}=\mathrm{93,4}\text{ m}$

El protón describiría una circunferencia de $\mathrm{93,4}\text{ m}$ de radio, casi dos mil veces mayor que la del electrón, porque su masa es esas mismas dos mil veces más grande.

En cuanto al sentido, la carga del protón es positiva, de modo que la fuerza de Lorentz tiene sentido contrario a la que actuaba sobre el electrón. El protón gira, por tanto, en sentido antihorario.