Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2022

El satélite más cercano a Júpiter, Ío, tiene un radio $R_{\acute{\text{I}}\text{o}}=\mathrm{1,82}\cdot {10}^6\text{ m}$ y su masa es $M_{\acute{\text{I}}\text{o}}=\mathrm{8,94}\cdot {10}^{22}\text{ kg}$. Si se lanza desde su superficie un cohete que alcanza una altura máxima $h={\displaystyle \frac{9}{7}}{R}_{\acute{\text{I}}\text{o}}$, determine:

a) La velocidad inicial con la que se ha lanzado el cohete para alcanzar dicha altura. [1 punto]

b) El valor de la aceleración de la gravedad sobre la superficie de Ío y en el punto más alto que alcanza el cohete. [0,5 puntos]

c) ¿Cuál sería el periodo de rotación orbital del cohete a dicha altura, si permaneciese en el punto más alto describiendo una trayectoria circular? [0,5 puntos]

Dato: $G=\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\text{ N}\cdot {\text{m}}^2\cdot {\text{kg}}^{-2}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{inicial}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{ha}}\mathbf{\text{lanzado}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{cohete}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{alcanzar}}\mathbf{\text{dicha}}\mathbf{\text{altura.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$










La distancia al centro de Ío en el punto más alto es:

$r=R_{\acute{\text{I}}\text{o}}+h=R_{\acute{\text{I}}\text{o}}+\frac{9}{7}{R}_{\acute{\text{I}}\text{o}}=\frac{16}{7}{R}_{\acute{\text{I}}\text{o}}$

$r=\frac{16}{7}\cdot \mathrm{1,82}\cdot {10}^6=\mathrm{4,16}\cdot {10}^6\text{ m}$

El cohete llega allí con velocidad nula, y como el campo gravitatorio es conservativo se conserva la energía mecánica.





$-G\frac{Mm}{R_{\acute{\text{I}}\text{o}}}+\frac{1}{2}m{v}_0^2=-G\frac{Mm}{r}+0$

$v_0=\sqrt{2GM(\frac{1}{R_{\acute{\text{I}}\text{o}}}-\frac{1}{r})}$

$v_0=\sqrt{2\cdot \mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{8,94}\cdot {10}^{22}(\frac{1}{\mathrm{1,82}\cdot {10}^6}-\frac{1}{\mathrm{4,16}\cdot {10}^6})}$

$v_0=\mathrm{1,92}\cdot {10}^3\text{ m}\cdot {\text{s}}^{-1}$

El cohete se ha lanzado con una velocidad inicial de $\mathrm{1,92}\text{ km}\cdot {\text{s}}^{-1}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{aceleraci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{gravedad}}\mathbf{\text{sobre}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{superficie}}\mathbf{\text{de}}\acute{\mathbf{\text{I}}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{alto}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{alcanza}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{cohete.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

La intensidad del campo gravitatorio a una distancia $r$ del centro es $g=GM\mathrm{/}{r}^2$. En la superficie:

$g_0=\frac{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{8,94}\cdot {10}^{22}}{(\mathrm{1,82}\cdot {10}^6{)}^2}$

$g_0=\mathrm{1,80}\text{ m}\cdot {\text{s}}^{-2}$

Y en el punto más alto, a $r=16R\mathrm{/}7$:

$g=g_0{\left(\frac{R_{\acute{\text{I}}\text{o}}}{r}\right)}^2=\mathrm{1,80}\cdot {\left(\frac{7}{16}\right)}^2$

$g=\mathrm{0,345}\text{ m}\cdot {\text{s}}^{-2}$

La gravedad de Ío es de $\mathrm{1,80}\text{ m}\cdot {\text{s}}^{-2}$ en su superficie y baja a $\mathrm{0,345}\text{ m}\cdot {\text{s}}^{-2}$ en el punto más alto de la trayectoria, poco más de la quinta parte.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{ser}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{periodo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{rotaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{orbital}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{cohete}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{dicha}}\mathbf{\text{altura,}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{permaneciese}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{alto}}\mathbf{\text{describiendo}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{trayectoria}}\mathbf{\text{circular?}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

En una órbita circular la fuerza gravitatoria es la fuerza centrípeta. Escribiendo la aceleración centrípeta en función del período:

$G\frac{Mm}{r^2}=m\frac{4{\pi }^2}{T^2}r\Rightarrow T=2\pi \sqrt{\frac{r^3}{GM}}$

que es la tercera ley de Kepler. Sustituyendo:

$T=2\pi \sqrt{\frac{(\mathrm{4,16}\cdot {10}^6{)}^3}{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{8,94}\cdot {10}^{22}}}$

$T=\mathrm{2,18}\cdot {10}^4\text{ s}=\mathrm{6,06}\text{ h}$

El cohete tardaría $\mathrm{6,06}$ horas en dar una vuelta completa a Ío a esa altura.