Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2021

Se colocan en los vértices de un cuadrado de 1 m de lado tres masas puntuales de 2, 4 y 2 kg, cuyas coordenadas son $(0,1)$; $(1,1)$ y $(1,0)$, respectivamente. Calcule:

a) La fuerza que ejercerán sobre una partícula de 1 g colocada en el cuarto vértice. [1 punto]

b) El trabajo realizado por el campo gravitatorio cuando la partícula se haya desplazado hasta el centro del cuadrado. Explique si este desplazamiento de la partícula es espontáneo o no. [1 punto]

Dato: $G=\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\text{ N}\cdot {\text{m}}^2\cdot {\text{kg}}^{-2}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{fuerza}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{ejercer}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{sobre}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{part}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{cula}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{1}}\mathbf{\text{g}}\mathbf{\text{colocada}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{cuarto}}\mathbf{\text{v}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{rtice.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$










La ley de gravitación universal de Newton da la fuerza que ejerce cada masa sobre la partícula:

$\vec{F}=-G\frac{Mm}{r^2}{\vec{u}}_r$

siempre atractiva, es decir, dirigida desde la partícula hacia cada masa. El cuarto vértice es el origen $(0,0)$ y la partícula tiene $m={10}^{-3}\text{ kg}$.





Las dos masas de $2\text{ kg}$ están a $1\text{ m}$, sobre los ejes:

$F_1=F_3=G\frac{2m}{1^2}=\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot 2\cdot {10}^{-3}=\mathrm{1,334}\cdot {10}^{-13}\text{ N}$

${\vec{F}}_1=(0,\mathrm{1,334}\cdot {10}^{-13}){\vec{F}}_3=(\mathrm{1,334}\cdot {10}^{-13},0)\text{ N}$

La masa de $4\text{ kg}$ está en el vértice opuesto, a la distancia de la diagonal, $\sqrt{2}\text{ m}$:

$F_2=G\frac{4m}{(\sqrt{2}{)}^2}=\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot \frac{4\cdot {10}^{-3}}{2}=\mathrm{1,334}\cdot {10}^{-13}\text{ N}$

y está dirigida a lo largo de la diagonal, con componentes iguales:

${\vec{F}}_2=\mathrm{1,334}\cdot {10}^{-13}\cdot \frac{(1,1)}{\sqrt{2}}=(\mathrm{9,43}\cdot {10}^{-14},\mathrm{9,43}\cdot {10}^{-14})\text{ N}$

Sumando las tres:

$\vec{F}=(\mathrm{2,28}\cdot {10}^{-13},\mathrm{2,28}\cdot {10}^{-13})\text{ N}$

$\mathrm{\mid }\vec{F}\mathrm{\mid }=\mathrm{2,28}\cdot {10}^{-13}\cdot \sqrt{2}=\mathrm{3,22}\cdot {10}^{-13}\text{ N}$

La fuerza total tiene módulo $\mathrm{3,22}\cdot {10}^{-13}\text{ N}$ y está dirigida a lo largo de la diagonal del cuadrado, hacia la masa de $4\text{ kg}$, como exige la simetría del problema.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{trabajo}}\mathbf{\text{realizado}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{campo}}\mathbf{\text{gravitatorio}}\mathbf{\text{cuando}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{part}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{cula}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{haya}}\mathbf{\text{desplazado}}\mathbf{\text{hasta}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{centro}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{cuadrado.}}\mathbf{\text{Explique}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{este}}\mathbf{\text{desplazamiento}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{part}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{cula}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{espont}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{neo}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{no.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

El campo gravitatorio es conservativo, así que el trabajo de sus fuerzas solo depende de los potenciales inicial y final:

$W=m(V_{\text{inicial}}-V_{\text{final}})$

El potencial en el cuarto vértice, con las distancias del apartado anterior:

$V_{(0,0)}=-G(\frac{2}{1}+\frac{4}{\sqrt{2}}+\frac{2}{1})=-\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{6,83}$

$V_{(0,0)}=-\mathrm{4,56}\cdot {10}^{-10}\text{ J}\cdot {\text{kg}}^{-1}$

En el centro del cuadrado las tres masas están a la misma distancia, la mitad de la diagonal:

$r=\frac{\sqrt{2}}{2}=\mathrm{0,707}\text{ m}$

$V_{\text{centro}}=-G\frac{2+4+2}{\mathrm{0,707}}=-\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{11,31}$

$V_{\text{centro}}=-\mathrm{7,55}\cdot {10}^{-10}\text{ J}\cdot {\text{kg}}^{-1}$

$W={10}^{-3}\cdot (-\mathrm{4,56}\cdot {10}^{-10}+\mathrm{7,55}\cdot {10}^{-10})$

$W=\mathrm{2,99}\cdot {10}^{-13}\text{ J}$

El trabajo del campo es positivo, así que el desplazamiento sí es espontáneo: la partícula se mueve hacia el centro, que es una región de menor potencial, y su energía potencial disminuye. Es coherente con el apartado anterior, donde la fuerza resultante apuntaba justamente en esa dirección.