Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2020

La aceleración de la gravedad en la superficie de Urano tiene un valor de $\mathrm{8,9}\text{ m}\mathrm{/}{\text{s}}^2$. Calcule:

a) El radio medio de Urano. [0,75 puntos]

b) El peso en Urano de un objeto cuyo peso en la superficie de la Tierra es 1 100 N. [0,75 puntos]

c) La velocidad de escape de la superficie de Urano. [1 punto]

Datos: $G=\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\text{ N}\cdot {\text{m}}^2\cdot {\text{kg}}^{-2}$; $R_T=6370\text{ km}$; $M_T=\mathrm{5,98}\cdot {10}^{24}\text{ kg}$; $M_U=\mathrm{8,68}\cdot {10}^{25}\text{ kg}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{radio}}\mathbf{\text{medio}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{Urano.}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$










La intensidad del campo gravitatorio en la superficie de un planeta se obtiene aplicando la ley de gravitación universal a un cuerpo situado sobre ella:

$g=G\frac{M}{R^2}\Rightarrow R=\sqrt{\frac{GM}{g}}$

Con los datos de Urano:

$R_U=\sqrt{\frac{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{8,68}\cdot {10}^{25}}{\mathrm{8,9}}}$





$R_U=\mathrm{2,55}\cdot {10}^7\text{ m}=\mathrm{2,55}\cdot {10}^4\text{ km}$

El radio medio de Urano es de $\mathrm{2,55}\cdot {10}^7\text{ m}$, unas cuatro veces el de la Tierra.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{peso}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{Urano}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{objeto}}\mathbf{\text{cuyo}}\mathbf{\text{peso}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{superficie}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{Tierra}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{1}}\mathbf{\text{100}}\mathbf{\text{N.}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

La masa del objeto es la misma en los dos planetas; lo que cambia es la intensidad del campo. Se calcula primero la gravedad terrestre:

$g_T=G\frac{M_T}{R_T^2}=\frac{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{5,98}\cdot {10}^{24}}{(\mathrm{6,37}\cdot {10}^6{)}^2}=\mathrm{9,83}\text{ m}\cdot {\text{s}}^{-2}$

y con ella la masa del objeto:

$m=\frac{P_T}{g_T}=\frac{1100}{\mathrm{9,83}}=\mathrm{111,9}\text{ kg}$

Su peso en la superficie de Urano es:

$P_U=m{g}_U=\mathrm{111,9}\cdot \mathrm{8,9}$

$P_U=996\text{ N}$

El objeto pesa $996\text{ N}$ en Urano, prácticamente lo mismo que en la Tierra: aunque Urano tiene catorce veces más masa, su radio es cuatro veces mayor y los dos efectos casi se compensan.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{escape}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{superficie}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{Urano.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

La velocidad de escape es la mínima que hay que comunicar a un cuerpo para que llegue al infinito con velocidad nula. Como el campo gravitatorio es conservativo, se conserva la energía mecánica:

$-G\frac{M_{U}m}{R_U}+\frac{1}{2}m{v}_{\text{esc}}^2=0\Rightarrow v_{\text{esc}}=\sqrt{\frac{2G{M}_U}{R_U}}$

Como $G{M}_U=g_U{R}_U^2$, la expresión se simplifica:

$v_{\text{esc}}=\sqrt{2g_U{R}_U}=\sqrt{2\cdot \mathrm{8,9}\cdot \mathrm{2,55}\cdot {10}^7}$

$v_{\text{esc}}=\mathrm{2,13}\cdot {10}^4\text{ m}\cdot {\text{s}}^{-1}=\mathrm{21,3}\text{ km}\cdot {\text{s}}^{-1}$

La velocidad de escape desde la superficie de Urano es de $\mathrm{21,3}\text{ km}\cdot {\text{s}}^{-1}$, casi el doble de la terrestre.