Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2025

«El satélite español de comunicaciones seguras SpainSat NG-I ha sido lanzado con éxito la pasada madrugada. El satélite, de 6 toneladas, orbitará sobre el ecuador terrestre con un periodo de revolución igual al de la rotación de la Tierra». Actualidad aeroespacial. Febrero 2025.

a) (1 punto) ¿A qué altura sobre la superficie de la Tierra orbitará el satélite?
b) (0.75 punto) ¿Cuál será la energía total del satélite en órbita?
c) (0.75 puntos) ¿Cuál es el trabajo necesario para llevar el satélite hasta esa altura?

Datos: $G=\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\text{ N}{\text{m}}^2{\text{kg}}^{-2}$; $M_{\text{Tierra}}=\mathrm{5,97}\cdot {10}^{24}\text{ kg}$; $R_{\text{Tierra}}=\mathrm{6,371}\cdot {10}^6\text{ m}$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}\mathbf{\text{¿A}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{altura}}\mathbf{\text{sobre}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{superficie}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{Tierra}}\mathbf{\text{orbitar}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sat}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{lite?}}$










Que el periodo de revolución sea igual al de rotación de la Tierra significa que la órbita es geoestacionaria: el satélite se ve siempre sobre el mismo punto del ecuador.

La única fuerza sobre el satélite es la atracción terrestre, que hace de fuerza centrípeta:

$G{\displaystyle \frac{M_{T}m}{r^2}}=m{\displaystyle \frac{4{\pi }^{2}r}{T^2}}$





Despejando el radio se obtiene la tercera ley de Kepler:

$r=\sqrt[3]{{\displaystyle \frac{G{M}_T{T}^2}{4{\pi }^2}}}$

Se pasa el periodo a segundos:

$T=24\text{ h}\cdot 3.600{\displaystyle \frac{\text{s}}{\text{h}}}=\mathrm{8,64}\cdot {10}^4\text{ s}$

$r=\sqrt[3]{{\displaystyle \frac{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{5,97}\cdot {10}^{24}\cdot (\mathrm{8,64}\cdot {10}^4{)}^2}{4{\pi }^2}}}=\mathrm{4,22}\cdot {10}^7\text{ m}$

La altura es la diferencia entre ese radio y el de la Tierra:

$h=r-R_T=\mathrm{4,22}\cdot {10}^7-\mathrm{6,371}\cdot {10}^6=\mathrm{3,59}\cdot {10}^7\text{ m}$

El satélite orbita a $\mathrm{3,59}\cdot {10}^7\text{ m}$ de altura, es decir, a unos $35.856\text{ km}$ sobre la superficie.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{(0.75}}\mathbf{\text{punto)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{ser}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{energ}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{total}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{sat}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{lite}}\mathbf{\text{en}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{rbita?}}$

En una órbita circular la energía cinética es la mitad del valor absoluto de la energía potencial, así que la energía mecánica vale:

$E=E_c+E_p={\displaystyle \frac{1}{2}}m{v}^2-G{\displaystyle \frac{M_{T}m}{r}}=-G{\displaystyle \frac{M_{T}m}{2r}}$

Las 6 toneladas del satélite en unidades del Sistema Internacional son:

$m=6\text{ t}=6\cdot {10}^3\text{ kg}$

$E=-{\displaystyle \frac{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{5,97}\cdot {10}^{24}\cdot 6\cdot {10}^3}{2\cdot \mathrm{4,22}\cdot {10}^7}}=-\mathrm{2,83}\cdot {10}^{10}\text{ J}$

La energía total del satélite en órbita es de $-\mathrm{2,83}\cdot {10}^{10}\text{ J}$, negativa porque está ligado al campo gravitatorio terrestre.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{(0.75}}\mathbf{\text{puntos)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{trabajo}}\mathbf{\text{necesario}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{llevar}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sat}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{lite}}\mathbf{\text{hasta}}\mathbf{\text{esa}}\mathbf{\text{altura?}}$

El campo gravitatorio es conservativo, de modo que el trabajo que hay que realizar desde fuera para subir el satélite es el aumento de su energía potencial:

$W_{\text{ext}}=\mathrm{\Delta }{E}_p=-G{\displaystyle \frac{M_{T}m}{r}}-(-G{\displaystyle \frac{M_{T}m}{R_T}})=G{M}_{T}m({\displaystyle \frac{1}{R_T}}-{\displaystyle \frac{1}{r}})$

$W_{\text{ext}}=\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{5,97}\cdot {10}^{24}\cdot 6\cdot {10}^3({\displaystyle \frac{1}{\mathrm{6,371}\cdot {10}^6}}-{\displaystyle \frac{1}{\mathrm{4,22}\cdot {10}^7}})$

$W_{\text{ext}}=\mathrm{3,18}\cdot {10}^{11}\text{ J}$

Subir el satélite hasta esa altura cuesta $\mathrm{3,18}\cdot {10}^{11}\text{ J}$.

Si además se quiere que quede orbitando, hay que aportarle la energía cinética de la órbita, y el trabajo total es la diferencia entre la energía mecánica final y la que tenía en reposo sobre la superficie:

$W=E-E_{\text{superficie}}=-\mathrm{2,83}\cdot {10}^{10}-(-\mathrm{3,75}\cdot {10}^{11})=\mathrm{3,47}\cdot {10}^{11}\text{ J}$