Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2020

Suponiendo que la masa de una persona es de 75 kg y que la distancia de la Tierra a la Luna es $D_{T\text{-}L}=\mathrm{3,84}\cdot {10}^5\text{ km}$, calcule:

a) La fuerza gravitatoria que ejerce la Luna sobre una persona situada sobre la superficie terrestre. [1 punto]

b) La relación entre dicha fuerza y la ejercida por la Tierra sobre la misma persona. [0,5 puntos]

c) Compare los valores de la velocidad de escape en las superficies de la Tierra y de la Luna. [1 punto]

Datos: $G=\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\text{ N}\cdot {\text{m}}^2\cdot {\text{kg}}^{-2}$; $M_L=\mathrm{7,35}\cdot {10}^{22}\text{ kg}$; $R_L=1740\text{ km}$; $R_T=6370\text{ km}$; $M_T=\mathrm{5,98}\cdot {10}^{24}\text{ kg}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{fuerza}}\mathbf{\text{gravitatoria}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{ejerce}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{Luna}}\mathbf{\text{sobre}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{persona}}\mathbf{\text{situada}}\mathbf{\text{sobre}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{superficie}}\mathbf{\text{terrestre.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

La ley de gravitación universal de Newton da la fuerza con que se atraen dos masas puntuales separadas una distancia $r$:

$F=G\frac{Mm}{r^2}$

Para la atracción que ejerce la Luna se toma como distancia la que separa los centros de la Tierra y de la Luna:

$F_L=G\frac{M_{L}m}{D_{T\text{-}L}^2}=\frac{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{7,35}\cdot {10}^{22}\cdot 75}{(\mathrm{3,84}\cdot {10}^8{)}^2}$

$F_L=\mathrm{2,49}\cdot {10}^{-3}\text{ N}$



La Luna atrae a la persona con una fuerza de apenas $\mathrm{2,49}\text{ mN}$, la que ejercería sobre ella un objeto de un cuarto de gramo apoyado en la mano.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{relaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{dicha}}\mathbf{\text{fuerza}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{ejercida}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{Tierra}}\mathbf{\text{sobre}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{misma}}\mathbf{\text{persona.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

La Tierra atrae a la persona desde su centro, a una distancia igual al radio terrestre:

$F_T=G\frac{M_{T}m}{R_T^2}=\frac{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{5,98}\cdot {10}^{24}\cdot 75}{(\mathrm{6,37}\cdot {10}^6{)}^2}$

$F_T=\mathrm{737,2}\text{ N}$

que no es otra cosa que el peso de la persona. La relación entre las dos fuerzas es:

$\frac{F_L}{F_T}=\frac{\mathrm{2,49}\cdot {10}^{-3}}{\mathrm{737,2}}$

$\frac{F_L}{F_T}=\mathrm{3,38}\cdot {10}^{-6}$

La atracción de la Luna es unas trescientas mil veces menor que la de la Tierra. Aun así no es despreciable a escala planetaria: es la responsable de las mareas.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Compare}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{escape}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{superficies}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{Tierra}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{Luna.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

La velocidad de escape es la mínima que hay que comunicar a un cuerpo para que llegue al infinito con velocidad nula. Como el campo gravitatorio es conservativo:

$-G\frac{Mm}{R}+\frac{1}{2}m{v}_{\text{esc}}^2=0\Rightarrow v_{\text{esc}}=\sqrt{\frac{2GM}{R}}$

$v_T=\sqrt{\frac{2\cdot \mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{5,98}\cdot {10}^{24}}{\mathrm{6,37}\cdot {10}^6}}=\mathrm{1,12}\cdot {10}^4\text{ m}\cdot {\text{s}}^{-1}$

$v_L=\sqrt{\frac{2\cdot \mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{7,35}\cdot {10}^{22}}{\mathrm{1,74}\cdot {10}^6}}=\mathrm{2,37}\cdot {10}^3\text{ m}\cdot {\text{s}}^{-1}$

$\frac{v_T}{v_L}=\frac{\mathrm{1,12}\cdot {10}^4}{\mathrm{2,37}\cdot {10}^3}=\mathrm{4,71}$

Escapar de la Tierra exige $\mathrm{11,2}\text{ km}\cdot {\text{s}}^{-1}$ y escapar de la Luna solo $\mathrm{2,37}\text{ km}\cdot {\text{s}}^{-1}$, unas $\mathrm{4,7}$ veces menos. De ahí que la Luna no haya podido retener atmósfera: las moléculas de gas alcanzan con facilidad esa velocidad.