Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2022

Dos objetos tienen masas respectivas $m_1=\mathrm{0,5}\text{ kg}$ y $m_2=9m_1$. El primer objeto se sitúa en el origen de coordenadas, mientras que el segundo se sitúa a una distancia de 2 metros según el eje $X$ positivo.

a) Determine el punto sobre el eje $X$ en el que se anula el campo de atracción gravitatoria entre ambos objetos. [1 punto]

b) Calcule el valor del potencial gravitatorio debido a ambos objetos en dicho punto. [1 punto]

Dato: $G=\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\text{ N}\cdot {\text{m}}^2\cdot {\text{kg}}^{-2}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{sobre}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{eje}}\mathit{X}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{anula}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{campo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{atracci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{gravitatoria}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{ambos}}\mathbf{\text{objetos.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$










El campo gravitatorio creado por una masa puntual apunta siempre hacia ella. Para que los dos se anulen tienen que ser opuestos, y eso solo ocurre en el segmento que une los dos objetos: fuera de él los dos campos llevan el mismo sentido.

Llamando $x$ a la distancia desde el primer objeto:

$G\frac{m_1}{x^2}=G\frac{m_2}{(2-x{)}^2}$





Con $m_2=9m_1$ la masa se simplifica:

$\frac{1}{x^2}=\frac{9}{(2-x{)}^2}\Rightarrow (2-x{)}^2=9x^2$

$2-x=3x\Rightarrow x=\mathrm{0,5}\text{ m}$

Se descarta la raíz $2-x=-3x$, que da $x=-1\text{ m}$, por caer fuera del segmento.

El campo gravitatorio se anula en el punto $(\mathrm{0,5},0)\text{ m}$, a $\mathrm{0,5}\text{ m}$ del objeto pequeño y a $\mathrm{1,5}\text{ m}$ del grande: la relación de distancias es $1:3$, la raíz cuadrada de la relación de masas.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{potencial}}\mathbf{\text{gravitatorio}}\mathbf{\text{debido}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{ambos}}\mathbf{\text{objetos}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{dicho}}\mathbf{\text{punto.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

El potencial gravitatorio es una magnitud escalar y las dos masas contribuyen con el mismo signo, así que no se anula donde se anula el campo:

$V=-G\frac{m_1}{r_1}-G\frac{m_2}{r_2}$

$V=-\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}(\frac{\mathrm{0,5}}{\mathrm{0,5}}+\frac{\mathrm{4,5}}{\mathrm{1,5}})=-\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot (1+3)$

$V=-\mathrm{2,67}\cdot {10}^{-10}\text{ J}\cdot {\text{kg}}^{-1}$

El potencial gravitatorio en ese punto vale $-\mathrm{2,67}\cdot {10}^{-10}\text{ J}\cdot {\text{kg}}^{-1}$. Conviene subrayar el contraste con el apartado anterior: el campo, que es vectorial, se anula ahí, mientras que el potencial, escalar y siempre negativo, no puede anularse en ningún punto a distancia finita.