Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2021

Ío, una de las lunas de Júpiter, posee una intensa actividad volcánica y el material lanzado durante las erupciones puede alcanzar alturas de 500 km sobre la superficie. Calcule:

a) La velocidad inicial del material volcánico en la superficie de Ío. [1 punto]

b) La velocidad de escape en Ío. [1 punto]

Datos: $G=\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\text{ N}\cdot {\text{m}}^2\cdot {\text{kg}}^{-2}$; $R_{\acute{\text{I}}\text{o}}=1815\text{ km}$; $M_{\acute{\text{I}}\text{o}}=\mathrm{8,94}\cdot {10}^{22}\text{ kg}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{inicial}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{material}}\mathbf{\text{volc}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{nico}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{superficie}}\mathbf{\text{de}}\acute{\mathbf{\text{I}}}\mathbf{\text{o.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$










El material sale de la superficie y llega a la altura máxima con velocidad nula. Como la fuerza gravitatoria es conservativa y se desprecia cualquier rozamiento, se conserva la energía mecánica:

$-G\frac{Mm}{R}+\frac{1}{2}m{v}_0^2=-G\frac{Mm}{r}+0$

con $r=R+h=1815\cdot {10}^3+500\cdot {10}^3=\mathrm{2,315}\cdot {10}^6\text{ m}$.





Simplificando la masa del material y despejando:

$v_0=\sqrt{2GM(\frac{1}{R}-\frac{1}{r})}$

$v_0=\sqrt{2\cdot \mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{8,94}\cdot {10}^{22}(\frac{1}{\mathrm{1,815}\cdot {10}^6}-\frac{1}{\mathrm{2,315}\cdot {10}^6})}$

$v_0=\mathrm{1,19}\cdot {10}^3\text{ m}\cdot {\text{s}}^{-1}$

El material sale de los volcanes de Ío a $\mathrm{1,19}\text{ km}\cdot {\text{s}}^{-1}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{escape}}\mathbf{\text{en}}\acute{\mathbf{\text{I}}}\mathbf{\text{o.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

La velocidad de escape es la mínima que hay que comunicar a un cuerpo en la superficie para que llegue al infinito con velocidad nula, es decir, con energía mecánica cero:

$-G\frac{Mm}{R}+\frac{1}{2}m{v}_{\text{esc}}^2=0\Rightarrow v_{\text{esc}}=\sqrt{\frac{2GM}{R}}$

$v_{\text{esc}}=\sqrt{\frac{2\cdot \mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{8,94}\cdot {10}^{22}}{\mathrm{1,815}\cdot {10}^6}}$

$v_{\text{esc}}=\mathrm{2,56}\cdot {10}^3\text{ m}\cdot {\text{s}}^{-1}$

La velocidad de escape en Ío es de $\mathrm{2,56}\text{ km}\cdot {\text{s}}^{-1}$, algo más del doble de la del material volcánico: por eso el material vuelve a caer sobre la superficie en lugar de perderse en el espacio.